Переходить к гамильтонову формализму естественно через лагран-
жев формализм, т.е. через преобразование Лежандра. В связи с этим
рассмотрим приложение лагранжева и гамильтонова формализмов
параллельно, причем лагранжев формализм будет вспомогательным.
Цель — вывести для указанных выше конкретных ЭЦ уравнения
Гамильтона.
Лагранжев формализм.
Основа лагранжева формализма — функ-
ция Лагранжа (лагранжиан)
L
, зависящая от обобщенных координат
u
1
, u
2
и их производных (обобщенных скоростей)
˙
u
1
,
˙
u
2
, если рассма-
тривается система (механическая или электрическая цепь) c двумя
степенями свободы. Физическое содержание обобщенных координат
и скоростей может быть различным. В механике в важном частном
случае системы с голономными связями при действии потенциальных
сил лагранжиан может быть представлен как разность
L
=
T
−
Π
, где
T
— кинетическая энергия (квадратичная форма по обобщенным ско-
ростям, коэффициенты которой могут зависеть от обобщенных коор-
динат);
П
— потенциальная энергия, зависящая только от обобщенных
координат (для консервативных систем зависимости от времени не
существует). В электротехнике роль величин
Т
и
П
выполняют элек-
трическая (
W
э
) и магнитная (
W
м
) энергии, причем однозначно указать
соответствующие аналоги нельзя [4]. Уравнения Лагранжа второго ро-
да в терминах обобщенных координат и скоростей (конкретизация ко-
торых приведена ниже) при изложенных выше ограничениях имеют
следующий общий вид:
d
dt
∂L
∂
˙
u
1
−
∂L
∂u
1
= 0;
d
dt
∂L
∂
˙
u
2
−
∂L
∂u
2
= 0
.
Это система дифференциальных уравнений второго порядка. В на-
стоящей статье уравнения Лагранжа не понадобятся, достаточно по-
лучить только лагранжиан. Однако исключительно для полноты изло-
жения запишем и их. Перейдем к определению лагранжиана.
Запишем выражения для электрической и магнитной энергий рас-
сматриваемых ЭЦ. Схема трехконтурной консервативной ЭЦ1, обра-
зованной двумя последовательно связанными через емкость
C
0
парал-
лельными контурами, приведена на части
а
рисунка. Согласно закону
Кирхгофа для токов (ЗКТ), индуктивные токи могут быть выражены
через емкостные токи:
i
1
=
−
˙
q
1
−
˙
q
0
;
(1)
i
2
=
−
˙
q
2
+ ˙
q
0
.
(2)
В соответствии с законом Кирхгофа для напряжений (ЗКН) заряды
конденсаторов удовлетворяют уравнению голономной связи
C
−
1
0
q
0
=
C
−
1
1
q
1
−
C
−
1
2
q
2
.
(3)
60 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 1
