Введение.
Консервативные электрические цепи (ЭЦ) с двумя сте-
пенями свободы при отсутствии взаимно индуктивной или взаимно
емкостной связи можно представить как два параллельных контура с
последовательной реактивной связью (трехконтурная ЭЦ) и как два
последовательных контура с параллельной реактивной связью (двух-
контурная ЭЦ). Исследование таких цепей сложно, но может быть
проведено аналитическими методами. Покажем, что указанные ЭЦ
анализируются идентично, поэтому для примера выберем только две
из них — трехконтурные ЭЦ с последовательной связью между кон-
турами (емкостной и индуктивной). Задача заключается в получении
математической модели таких ЭЦ, т.е. соответствующих дифференци-
альных уравнений. Для этого выбран наиболее приемлемый с точки
зрения автора метод — гамильтонов формализм.
Использовать методы лагранжевой механики для анализа консер-
вативных ЭЦ предлагалось ранее (например, Л.И. Мандельштам [1],
С.П. Стрелков [2]). Рассматривался лагранжиан достаточно общего ви-
да (в частности, для электрической цепи с двумя степенями свободы),
находились уравнения Лагранжа для ЭЦ, частоты мод (нормальных
колебаний) и коэффициенты разложения колебаний по модам. В элек-
тротехнике для вывода динамических уравнений лагранжев подход
применяется редко, поскольку эти уравнения гораздо легче получить
другими методами (методом контурных токов или методом узловых
потенциалов). Будем исходить из того, что уравнения Лагранжа из-
вестны (однако запишем их вновь из чисто методических соображе-
ний).
Иная ситуация с получением уравнений Гамильтона. В линейной
электротехнике они встречаются в неявном виде, например при ре-
ализации метода переменных состояний [3]. Значительно важнее их
роль в линеаризованных задачах нелинейной электротехники, кото-
рые допускают описание с помощью гамильтониана (консервативные
цепи). Так, рассматриваемые в статье цепи могут быть линейным при-
ближением к слабо нелинейным цепям. Например, кулон-вольтова ха-
рактеристика (КВХ) емкостного элемента связи обычно монотонна и
реально мало отличается от линейной, что дает возможность в первом
приближении использовать линейное приближение КВХ. При необ-
ходимости описание линейного приближения (линейной цепи) будет
наследовать описание исходной нелинейной цепи, которое часто будет
гамильтоновым. Таким образом, возникает промежуточная (в литера-
туре — порождающая [1]) система гамильтоновых линейных уравне-
ний. Автору неизвестны работы, где такие уравнения были получены
(или хотя бы приведены) для цепей выделенного класса, что и опре-
делило основную цель настоящей статьи.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 1 59
