6 / 12
В.А. Серов
116
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 2
3)
[
]
i
i
i
p m
= ×
B
— матрица замкнутого выпуклого полиэдрального конуса
доминирования
∈ ∈
,
,
i
m
i
i
E N
Ω
с неотрицательными элементами
0;
i
kj
b
≥
4)
вектор
m
>
0
ε
фиксирован, а его компоненты удовлетворяют включе-
нию
( )
− ∈ ∈
,
;
i
i
i
N
ε Ω
5)
g
∈
u U
ε
— обобщенное
ε
-равновесие задачи (1).
Тогда для любого
i
∈
N
и любой матрицы
{
}
0, ,
1,
i
i
i
lj
k
l j
m
= ≥ =
K
суще-
ствует допустимое решение
т
т
т
1
, ,
,
n
=
∈
v v
v U
ε
ε
ε
обладающее следующими
свойствами:
1)
(
)
( )
(
)
;
i
g
g
i
i
i
m
i
−
≤
B J u v J u 0
ε ε
ε
(16)
2)
(
)
,
,
g
d
≤ δ
v u
ε ε
(17)
где
∈
ε
δ =
=
ε
т
т
max
,
1,
,
i
i j
i
i
i
i i
j
j
p
N
b
b K
(18)
i
j
b
— вектор, образованный из
j
-й строки матрицы ;
i
B
3) для любого
i
∈
N
и любого
,
≠
v v
ε
,
∈
v U
не выполняется система нера-
венств
(
)
(
)
(
)
(
)
,
.
i
g
g
i
i
i
i i
i
i i
p
i
i
d
+
−
≤
B J u v K v v B J u v 0
ε
ε
ε ε
ε
(19)
Вопросы обобщения
ε
-вариационного принципа Экланда [26, 27] на класс
задач многокритериальной оптимизации исследуются также в работах [28–31].
Однако необходимо сделать следующие замечания.
1.
Утверждения
теорем 1, 2
являются более общими по сравнению с ре-
зультатами, приведенными в работах [28, 29], поскольку, во-первых, здесь ис-
пользован более общий по сравнению с оптимальностью по Парето принцип
оптимальности по конусу доминирования
,
Ω
во-вторых, утверждения доказа-
ны для любой матрицы
{
}
= ≥ =
0, ,
1,
,
ij
k
i j
m
K
характеризующей требования к
чувствительности компонентов векторного показателя эффективности к изме-
нениям параметров.
2.
Работы [30, 31] также обобщают
ε
-вариационный принцип Экланда на
класс многокритериальных задач. Однако результаты автора, приведенные в
[23–25], опубликованы значительно раньше, чем работы [30, 31]. Кроме того,
использование в [23–25] полиэдрального конуса доминирования
Ω
, а также
матрицы
,
K
позволяет сформулировать условия оптимальности в конструк-
тивном виде, и построить эффективные алгоритмы глобальной оптимизации,
обеспечивающие поиск оптимальных решений с заданными свойствами.
3.
В [23, 25] дано обобщение
ε
-вариационного принципа Экланда на класс иг-
ровых моделей оптимизации управления в ССС (
теорема
4 —
ε
–
G
-вариационный
принцип), что отсутствует в упомянутых работах зарубежных авторов.