4 / 12
В.А. Серов
114
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 2
{
}
= ∈ ≤
,
m
p
z E Bz 0
Ω
(5)
формализующий бинарное отношение предпочтения на множестве достижи-
мых векторных оценок
( )
( )
;
∈
=
u U
J U J u
[
]
p m
= ×
B
— матрица полиэдрального
конуса доминирования
;
Ω
p
p
∈
0 E
— нулевой вектор.
Определение 3.
Пусть вектор
( )
− ∈
.
ε Ω
Допустимое решение
∈
u U
ε
будем
называть
ε
–
Ω
-оптимальным решением задачи (4), если для любого допустимого
ε
≠
u u
имеет место
( )
( )
(
)
−
− ∉
.
J u J u
ε
ε Ω
(6)
Как следует из
определений 2
,
3,
структура обобщенного
ε
-равновесия зада-
чи (1) такова, что для каждого участника
i
∈
N
решение
g
ε
∈
u U
является
ε
–
Ω
-
оптимальным на множестве
{
}
{
}
.
i
i
g
g
i
i
∈
=
u U
u U
u u
ε
ε
Поэтому представляется
целесообразным исследование свойств
ε
–
Ω
-оптимальных решений задачи мно-
гокритериальной оптимизации вида (4), (5) и условий, которым эти решения
удовлетворяют. Ключевую роль при изучении свойств
ε
–
Ω
-оптимальных реше-
ний играют следующие теоремы [23–25].
Теорема 1.
Пусть
r
⊂
U E
— замкнутое подмножество полного метрическо-
го пространства;
( )
m
∈
J u E
— векторная положительная полунепрерывная сни-
зу функция;
[
]
p m
= ×
B
— матрица полиэдрального конуса доминирования
Ω
с
элементами
0;
ij
b
≥
(
)
,
d
u v
— расстояние между точками
,
.
r
∈
u v E
Рассмот-
рим
0
∈
u U
и
.
m
m
> ∈
c 0 E
Определим на множестве
U
бинарное отношение предпочтения
ℜ
следу-
ющего вида:
( )
(
)
(
)
( )
(
)
2
1
2
1 2
1
,
.
d
ℜ ⇔ +
−
≤
u u B J u c u u J u 0
(7)
Тогда: 1) существует точка
,
∈
u U
такая, что выполняется отношение пред-
почтения
0
ℜ
u u
вида (7);
2)
,
∀ ∈ ≠
u U u u
не выполняется отношение
ℜ
u u
вида (7), т. е. не выпол-
няется система неравенств
( )
(
)
(
)
( )
(
)
,
.
p
cd
+
− ≤
B J u u u J u 0
(8)
Следствием теоремы 1 является следующее.
Теорема 2
(
ε
–
Ω
-вариационный принцип). Пусть:
1) выполнены условия теоремы 1;
2) вектор
m
>
0
ε
фиксирован и
( )
− ∈
;
ε Ω
3)
∈
u U
ε
— слабо
ε
–
Ω
-оптимальное решение задачи (4), т. е. для любого
∈
v U
не выполняется система неравенств
( )
( )
(
)
(
)
.
p
−
− <
B J v J u
0
ε
ε