7 / 12
связи волн. Он учитывает как связь через потери
(
m
=
m
∗
)
, так и
через неоднородность диэлектрика
(
−
m
=
m
∗
)
[4]. Более детально
выяснять происхождение связи при данном уровне приближения не
имеет смысла.
Решать задачу (8)–(10) в исходном виде затруднительно, поэтому
сделаем некоторые преобразования. Заменим систему уравнений (8),
(9) системой
du
(+)
dz
−
ik
+
u
(+)
=
k
−
mu
(
−
)
∗
;
(12)
du
(
−
)
∗
dz
−
ik
−
u
(
−
)
∗
=
k
+
m
∗
u
(+)
.
(13)
Введем новые переменные
u
(+)
=
U
(+)
e
ik
0
z
;
u
(
−
)
=
U
(
−
)
e
−
ik
0
z
,
(14)
где
k
0
=
ω
0
c
0
=
k
n
0
— ранее введенное волновое число.
В этих переменных система (8), (12) примет следующий вид:
(
ik
0
−
ik
+
)
U
(+)
−
k
−
mU
(
−
)
∗
= 0;
(15)
(
ik
0
−
ik
−
)
U
(
−
)
∗
−
k
+
m
∗
U
(+)
= 0
,
(16)
Отсюда можно найти собственные значения спектрального параметра
ω
1
,
ω
2
и соответствующие каждому их них
U
(
−
)
∗
,
U
(+)
.
Будем искать собственные значения из условия обращения в нуль
определителя:
ik
0
−
ik
+
−
k
−
m
−
k
+
m
∗
ik
0
−
ik
−
= (
ik
0
−
ik
+
) (
ik
0
−
ik
−
)
− |
m
|
2
k
+
k
−
= 0
.
(17)
Учитывая (11), получаем из (16) уравнение для определения
ω
:
1 +
|
m
|
2
−
1
c
+
c
−
k
2
0
−
2 1 +
|
m
|
2
−
1
k
0
ω
c
+
+
c
−
2
+
ω
2
= 0
.
Корни этого уравнения
ω
1
,
2
таковы:
ω
1
,
2
= 1 +
|
m
|
2
−
1
k
0
c
+
+
c
−
2
±
±
1 +
|
m
|
2
−
1
s
k
2
0
c
+
+
c
−
2
2
−
1 +
|
m
|
2
k
2
0
c
+
c
−
.
(18)
В силу (7)
k
0
c
+
+
c
−
2
=
k
0
c
0
=
ω
0
, k
2
0
c
+
−
c
−
2
2
=
k
2
0
c
2
0
|
β
|
2
=
ω
2
0
|
β
|
2
;
|
m
|
2
c
+
c
−
=
|
m
|
2
c
2
0
1
− |
β
|
2
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 2 97