7 / 16
существуют при
x
=
x
∗
и непрерывны в этой точке, то все производ-
ные при
x
=
x
∗
равны между собой.
Нечеткая начальная задача
рассматривается лишь для нечетких
производных
˙
y
S
н
(
x
)
,
˙
y
PR
н
(
x
)
,
˙
y
KFM
н
(
x
)
, так как для нечетких производ-
ных
˙
y
GV
н
(
x
)
,
˙
y
DP
н
(
x
)
при
x
=
x
∗
возможна ситуация, когда эти произ-
водные не являются нечеткими числами, т.е. один из углов их функций
принадлежностей относительно основания больше 90
◦
. В остальных
случаях производные всегда существуют, поскольку при
x
=
x
∗
также
используются слабые числа.
Пусть есть четкая начальная задача, описываемая уравнением пер-
вого порядка
˙
y
=
f
(
x, y, k
)
,
(1)
где
y
(
x
= 0) =
c
=
const,
k
= (
k
1
, . . . , k
n
)
— вектор параметров. Для
задачи (1) выполнены все условия существования и единственности,
тогда
y
=
g
(
x, k, c
)
представляет собой решение уравнения (1).
Вектор параметров
k
и константа
c
— неточно заданные, т.е. неопре-
деленные. Представим эту неопределенность нечеткими треугольны-
ми числами, для чего заменим параметр
k
i
параметром
k
i
н
,
i
= 1
, . . . , n
,
а параметр
c
— параметром
c
н
, получим
˙
y
н
=
f
(
x, y
н
, k
н
)
.
(2)
Здесь
y
н
(
x
= 0) =
c
н
;
˙
y
н
— некоторая нечеткая производная.
Типы нечетких решений
задачи (2) определяются типом произ-
водной: решение Сейккалы
y
SS
н
(
x
)
; решение Пури – Ралеску
y
PRS
н
(
x
)
;
решение Кэндела – Фридмана –Минго
y
KFMS
н
(
x
)
.
Пусть существует решение Сейккалы
y
SS
н
(
x
)
, тогда также вводится
решение Баклей – Фейринга
y
BFS
н
(
x
)
, существующее при одновремен-
ном выполнении условий
˙
f
y
>
0
,
˙
g
c
>
0
,
˙
f
ki
˙
g
ki
>
0
, i
= 1
, . . . , n,
(3)
где
f
(
∙
)
— правая часть уравнения (1);
g
(
∙
)
— решение уравнения
(1);
k
i
— компоненты вектора
k
. Условия (3) эквивалентны условиям
одновременного возрастания
f
(
∙
)
, g
(
∙
)
относительно параметров.
Взаимосвязь нечетких решений следует из следующей теоремы
(без доказательства): если существует решение
y
SS
н
(
x
)
, то
y
BFS
н
(
x
) =
=
y
SS
н
(
x
)
. Если хотя бы одно из условий (3) не выполняется, то
y
BFS
y
(
x
)
6
=
y
SS
н
(
x
)
и решения
y
BFS
н
(
x
)
не существует.
Имеют место следующие теоремы (без доказательств).
Теорема 1.
Если уравнение
(1)
имеет решение, то существует
решение
y
SS
н
(
x
)
и оно находится из системы уравнений
˙
y
(
x
) =
f
(
x, y, k, y, k
);
˙
y
(
x
) =
f
(
x, y, k, yk
);
y
(
x
= 0) =
c, y
(
x
= 0) =
c,
(4)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 65