7 / 15
При выполнении условия полной наблюдаемости Калмана
rank
C
p
C
p
A
D
p
...
C
p
A
D
p
n
+
m
−
1
=
n
+
m,
(16)
где
m
=
M
1
+
. . .
+
M
r
, выбором матрицы коэффициентов
L
p
при
известных матрицах
A
D
p
и
C
p
всегда можно обеспечить любое задан-
ное размещение внутри круга единичным радиусом на комплексной
плоскости
C
stab
корней характеристического полинома (полюсов) [9]
det
λI
n
−
A
D
p
+
L
p
C
p
,
(17)
или, эквивалентно, собственных значений наблюдателя состояния
eig
A
D
p
−
L
p
C
p
=
λ
i
∈
C
: det
λI
n
−
A
D
p
+
L
p
C
p
= 0
.
(18)
В этом случае можно рассмотреть вспомогательную дискретную
MIMO-систему вида [8]
ν
(
τ
+ 1) = ˉ
Aν
(
τ
) + ˉ
Bη
(
τ
)
, η
(
τ
) =
−
L
т
p
ν
(
τ
)
,
(19)
где
ν
— вектор, имеющий размерность расширенного вектора
x
p
;
η
—
вектор входа (управления);
ˉ
A
=
A
D
p
т
;
ˉ
B
=
C
т
p
.
Поиск матрицы
L
p
(19), обеспечивающей заданное размещение
полюсов (собственных значений), относится к классической задаче
модального управления. Это объясняется тем, что в рассматриваемой
постановке задача фильтрации фактически заключается в идентифи-
кации (наблюдении) величины требуемого вектора
Q
. Условия полной
наблюдаемости здесь являются необходимыми и достаточными для
существования решения задачи фильтрации. Для поиска собственно
решения, в принципе, можно применять любые методы модального
управления, например, приведенные в работах [7–15]. Поступим так
же, как это сделано в работе [9], воспользовавшись методом, приве-
денным в работе [12].
Введем двухуровневую декомпозицию MIMO-системы (15), пред-
ставляемую парой матриц
( ˉ
A,
ˉ
B
)
. Имеем
нулевой (исходный) уровень декомпозиции
A
0
= ˉ
A, B
0
= ˉ
B
;
(20)
1-й уровень декомпозиции
A
1
=
B
⊥
0
A
0
B
⊥−
0
, B
1
=
B
⊥
0
A
0
B
0
.
(21)
Здесь
B
⊥
0
— аннулятор (делитель нуля) матрицы
B
0
, т.е.
B
⊥
0
B
0
= 0
;
B
⊥−
0
— 2-полуобратная матрица для
B
⊥
0
[9], т.е. матрица, удовлетво-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 9