5 / 10
K
∗
k
=
S
k
B
+
∗
k
−
K
∗
k
−
1
B
⊥
T
∗
k
−
B
+
∗
k
−
K
∗
k
−
1
B
⊥
T
∗
k
A
∗
k
;
. . .
(18)
K
∗
L
=
S
L
B
+
∗
L
−
B
+
∗
L
A
∗
L
.
(19)
По аналогии с [8–10] нетрудно доказать, что в данном случае выпол-
няется следующее тождество для собственных значений:
eig (
A
∗
0
+
B
∗
0
K
∗
0
) =
L
[
i
=1
eig (
S
i
)
.
(20)
Таким образом, полагая
K
=
K
∗
0
и в силу доказанных ранее
положений, будем иметь тождество
eig (
I
n
+
BK
)
−
1
A
=
L
[
k
=1
eig
S
−
1
k
=
s
−
1
i
=
{
λ
i
}
.
(21)
Это и требовалось получить.
Решение для дискретной MIMO-системы
. Ясно, что рассмо-
тренный в предыдущем разделе подход справедлив и для случая дис-
кретной MIMO-системы, когда
Δ
{
x(
t
)
}
Δ
= x(
t
+ 1)
. При этом соб-
ственные значения (6) следует задавать таким образом, чтобы они
лежали внутри единичного круга (но не в нуле), а у MIMO-системы
(10) соответственно вне этого круга, т.е.
eig (
I
n
+
BK
)
−
1
A
=
{
λ
i
: 0
<
|
λ
i
|
<
1
}
,
при этом
eig (
I
n
+
BK
)
−
1
A
=
λ
−
1
i
:
λ
−
1
i
>
1
.
В остальном какие-либо отличия в решении задачи отсутствуют.
Остается неисследованным случай, при котором отдельные или все
собственные значения замкнутой системы принимают нулевые зна-
чения (эквивалентная трактовка связана со снижением ранга матри-
цы замкнутой MIMO-системы
(
I
n
+
BK
)
−
1
A
)
. Ясно, что напрямую
воспользоваться изложенным подходом нельзя в силу сделанного по-
стулирования обратимости матриц
A
и
(
I
n
+
BK
)
−
1
A
.
С другой стороны, из теории матриц хорошо известно [7], что не-
льзя никакой обратимой матрицей понизить ранг ее сомножителя. На-
пример, если матрица
A
имеет
rank
A
=
m
≤
n
, то никакой матрицей
(
I
n
+
BK
)
−
1
нельзя уменьшить этот ранг. Другими словами, нельзя
“приписать” матрице замкнутой системы
(
I
n
+
BK
)
−
1
A
большее чи-
сло нулевых собственных значений, нежели то, что присутствует в
исходном множестве собственных значений матрицы
A
.
Следовательно, для системы (3) существует лишь один вариант
увеличения числа нулевых собственных значений — преобразование к
дескрипторной форме
(
I
n
+
BK
) Δ
{
x(
t
)
}
=
A
x(
t
)
,
(22)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 4 7