3 / 10
Теорема 1
.
Для того чтобы непрерывная MIMO-система
(1)
после замыкания обратной связью
(2)
имела гурвицеву матрицу
(
I
n
+
BK
)
−
1
A
необходима невырожденность матрицы
A
или
,
эквивалентно
,
необходимо отсутствие у этой матрицы нулевых
собственных значений
.
Действительно, если матрица
A
вырождена, то в силу теоремы
Кронеккера – Капелли [7] никакая матрица
(
I
n
+
BK
)
не может обес-
печить невырожденность произведения матриц (5) (эквивалентно —
отсутствие нулевых собственных значений в (5)) и, следовательно,
асимптотической устойчивости замкнутой системы.
Теорема 2
.
Для того чтобы непрерывная MIMO-система
(1)
после замыкания обратной связью
(2)
имела гурвицеву матрицу
(
I
n
+
BK
)
−
1
A
необходима полная управляемость пары матриц
A
−
1
, A
−
1
B
(7)
или в более общем случае — полная управляемость пары матриц
(
A, AB
)
.
(8)
Заметим, что из полной управляемости пары (8) следует полная
управляемость пары (7), но не наоборот.
Действительно, если выполняется условие полной управляемости
пары матриц (8), например, на основе критерия управляемости Кал-
мана
rank
AB A
2
B . . . A
n
B
=
n,
то “автоматически” при невырожденной матрице
A
выполняются и
другие (эквивалентные) условия полной управляемости пары (7), а
именно,
rank
A AB . . . A
n
−
1
B
=
n,
rank
A
−
1
B A
−
2
B . . . A
−
n
−
2
B
=
n.
Эти условия можно получить различными способами, например,
следующим образом. Ясно, что если обеспечено множество собствен-
ных значений (6) и матрица
A
невырожденная, то имеет место равен-
ство
eig
A
−
1
(
I
n
+
BK
) =
=
λ
−
1
i
: det
λ
i
I
n
−
A
−
1
(
I
n
+
BK
) = 0;
i
= 0
,
1
, . . . , n .
(9)
Таким образом, имеет место вспомогательная задача размещения
собственных значений у
инверсной
MIMO-системы
˙z(
t
) =
A
−
1
(
I
n
+
BK
) z(
t
)
,
(10)
или в эквивалентном виде
˙z(
t
) =
A
−
1
z(
t
) +
A
−
1
B
v(
t
)
,
v(
t
) =
Kz
(
t
)
.
(11)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 4 5