Постановка задачи
. Пусть задана детерминированная линейная
динамическая MIMO-система (Multi Inputs Multi Outputs System)
Δ
{
x(
t
)
}
=
A
x(
t
) +
B
u(
t
)
,
(1)
где
Δ
{
x(
t
)
}
Δ
= ˙x(
t
)
для непрерывного и
Δ
{
x(
t
)
}
Δ
= x(
t
+ 1)
для
дискретного случая описания MIMO-системы;
x(
t
)
—
n
-мерный вектор
состояния;
u(
t
)
—
r
-мерный вектор управления.
В качестве закона управления рассматривается обратная связь по
производным вектора состояния MIMO-системы [1–4]
u(
t
) =
−
K
Δ
{
x(
t
)
}
.
(2)
В результате замыкания обратной связью (2) MIMO-система (1)
преобразуется к виду
Δ
{
x(
t
)
}
=
A
x(
t
)
−
BK
Δ
{
x(
t
)
}
,
(
I
n
+
BK
) Δ
{
x(
t
)
}
=
A
x(
t
);
(3)
здесь
I
n
— единичная матрица порядка
n
.
В дальнейшем считаем, что матрица в левой части уравнения (3)
(
I
n
+
BK
)
невырожденная (т.е. (3) не относится к классу дескриптор-
ных систем [5, 6]). Тогда вместо (3) можно записать MIMO-систему
Δ
{
x(
t
)
}
= (
I
n
+
BK
)
−
1
A
x(
t
)
.
(4)
Требуется найти такую матрицу
K
, чтобы замкнутая MIMO-
система (4) была асимптотически устойчивой, точнее,
гурвицевой
в
непрерывном, и
шуровской
в дискретном случае [7], при этом ее дви-
жение обязательно бы имело заданный спектр [2–4]. Под спектром
здесь (4) понимается множество собственных значений (полюсов)
матрицы
(
I
n
+
BK
)
−
1
A,
(5)
т.е.
eig (
I
n
+
BK
)
−
1
A
=
=
λ
i
: det
λ
i
I
n
−
(
I
n
+
BK
)
−
1
A
= 0;
i
= 0
,
1
, . . . , n .
(6)
Решение для непрерывной MIMO-системы
. Рассмотрим сначала
случай непрерывной MIMO-системы, когда
Δ
{
x(
t
)
}
Δ
= ˙x(
t
)
. В предпо-
ложении, что матрица
(
I
n
+
BK
)
является невырожденной, требуется
найти матрицу
K
в (2), обеспечивающую замкнутой MIMO-системе
(4), которая в данном случае принимает вид
˙x(
t
) = (
I
n
+
BK
)
−
1
A
x(
t
)
,
асимптотическую устойчивость и заданный спектр (6).
Из (4) вытекают необходимые условия решения данной задачи в
непрерывном случае.
4 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 4