Background Image
Previous Page  2 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 10 Next Page
Page Background

Постановка задачи

. Пусть задана детерминированная линейная

динамическая MIMO-система (Multi Inputs Multi Outputs System)

Δ

{

x(

t

)

}

=

A

x(

t

) +

B

u(

t

)

,

(1)

где

Δ

{

x(

t

)

}

Δ

= ˙x(

t

)

для непрерывного и

Δ

{

x(

t

)

}

Δ

= x(

t

+ 1)

для

дискретного случая описания MIMO-системы;

x(

t

)

n

-мерный вектор

состояния;

u(

t

)

r

-мерный вектор управления.

В качестве закона управления рассматривается обратная связь по

производным вектора состояния MIMO-системы [1–4]

u(

t

) =

K

Δ

{

x(

t

)

}

.

(2)

В результате замыкания обратной связью (2) MIMO-система (1)

преобразуется к виду

Δ

{

x(

t

)

}

=

A

x(

t

)

BK

Δ

{

x(

t

)

}

,

(

I

n

+

BK

) Δ

{

x(

t

)

}

=

A

x(

t

);

(3)

здесь

I

n

— единичная матрица порядка

n

.

В дальнейшем считаем, что матрица в левой части уравнения (3)

(

I

n

+

BK

)

невырожденная (т.е. (3) не относится к классу дескриптор-

ных систем [5, 6]). Тогда вместо (3) можно записать MIMO-систему

Δ

{

x(

t

)

}

= (

I

n

+

BK

)

1

A

x(

t

)

.

(4)

Требуется найти такую матрицу

K

, чтобы замкнутая MIMO-

система (4) была асимптотически устойчивой, точнее,

гурвицевой

в

непрерывном, и

шуровской

в дискретном случае [7], при этом ее дви-

жение обязательно бы имело заданный спектр [2–4]. Под спектром

здесь (4) понимается множество собственных значений (полюсов)

матрицы

(

I

n

+

BK

)

1

A,

(5)

т.е.

eig (

I

n

+

BK

)

1

A

=

=

λ

i

: det

λ

i

I

n

(

I

n

+

BK

)

1

A

= 0;

i

= 0

,

1

, . . . , n .

(6)

Решение для непрерывной MIMO-системы

. Рассмотрим сначала

случай непрерывной MIMO-системы, когда

Δ

{

x(

t

)

}

Δ

= ˙x(

t

)

. В предпо-

ложении, что матрица

(

I

n

+

BK

)

является невырожденной, требуется

найти матрицу

K

в (2), обеспечивающую замкнутой MIMO-системе

(4), которая в данном случае принимает вид

˙x(

t

) = (

I

n

+

BK

)

1

A

x(

t

)

,

асимптотическую устойчивость и заданный спектр (6).

Из (4) вытекают необходимые условия решения данной задачи в

непрерывном случае.

4 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 4