Размещение полюсов при управлении MIMO-системой с обратной связью по производным состояния

4 / 10

Очевидно, что для полной управляемости инверсной MIMO-
системы в форме (10) или (11) необходимо и достаточно полной
управляемости пары матриц (7), или более строго — пары матриц (8).
Отметим следующее: если для MIMO-системы (1) закон управле-
ния (2) имеет вид отрицательной обратной связи по производным век-
тора состояния, то для инверсной системы этот закон преобразуется
в положительную обратную связь по вектору состояния (см. урав-
нение (11)). Однако этот закон “виртуален”, носит вспомогательный
характер, и поэтому задача его физической реализации не ставится и,
соответственно, не решается.
Итак, если найти решение задачи размещения собственных зна-
чений (9) у инверсной MIMO-системы (10), (11), то автоматически
будет решена задача размещения собственных значений (6) у MIMO-
системы (4) в непрерывном случае ее представления.
Осталось применить разработанный метод размещения полюсов
[8–10] для собственных значений (9) и MIMO-системы с парой матриц
(7).
Пусть X — некоторая произвольная матрица, X+ — псевдообрат-
ная матрица, X⊥ — полуортогональная матрица (называемая также
делителем нуля), которые совместно удовлетворяют условиям регу-
лярности и ортогональности [11]:
XX + X=X, X + XX+ =X+ , XX + = XX + T
, X+ X = X+ X
T
,
X⊥X = 0, X ⊥X⊥ T = I.
Введем в рассмотрение следующую многоуровневую декомпози-
цию MIMO-системы (11):
A∗ 0 = A− 1, B ∗0 = A−1B (12)
— нулевой уровень декомпозиции;
A∗ 1 = B ⊥
∗0A∗0B ⊥T
∗0 , B∗ 1 = B ⊥
∗0 A∗ 0B
∗ 0, . . . (13)
— первый уровень декомпозиции;
A∗k = B⊥
∗k −1A∗k− 1B⊥T
∗k− 1, B∗k = B⊥
∗k −1 A∗k− 1B∗k −1, . . . (14)
— k-й (промежуточный) уровень декомпозиции;
A∗L = B⊥
∗L− 1A∗L−1B⊥ T
∗L− 1, B∗ L = B ⊥
∗L−1 A∗ L− 1B ∗L−1 (15)
— L -й (конечный) уровень декомпозиции, где L = ceil (n/r) − 1,
ceil (∗) — операция округления числа в сторону большего значения).
Для каждого из уровней приведенной многоуровневой декомпози-
ции (12)–(15) рассмотрим также матрицы
K ∗0 = S 0 B+
∗0 − K ∗1B⊥T
∗0 − B +
∗0 − K∗1B ⊥T
∗0 A∗0 ; (16)
K∗ 1 = S1 B+
∗1 − K∗2 B⊥ T
∗11 − B+
∗1 − K ∗2B ⊥T
∗1 A∗1; . . . (17)
6 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 4