6 / 12
Используя стандартную схему Галеркина для метода конечных эле-
ментов [14], получаем из (6)–(8) матричное уравнение для температу-
ры
Θ
и перемещений
U
в узлах сетки:
(K +
λ
H)Θ +
λ
FU = 0;
(10)
здесь
K
,
H
,
F
— матрицы, элементы которых составлены из функций
формы
N
с числом узлов
m
.
Осесимметричная геометрия резонатора допускает переход к ци-
линдрическим координатам
r
,
θ
,
z
. Тогда (6) примет вид
ρC
P
∂T
∂t
−
k
∂
2
T
∂r
2
+
1
r
∂T
∂r
+
1
r
2
∂
2
T
∂θ
2
+
∂
2
T
∂z
2
=
−
EαT
0
(1
−
2
ν
)
∂e
∂t
,
а для элементных матриц из (10) справедливы следующие соотноше-
ния:
K
e
=
Z
Ω
k
∂
N
∂r
∂
N
т
∂r
+
∂
N
∂z
∂
N
т
∂z
+
n
2
r
2
NN
т
drdz,
H
e
=
Z
Ω
C
V
NN
т
drdz,
F = [F
1
. . .
F
m
]
,
F
i
=
EαT
0
1
−
2
ν
N
∂
N
i
∂r
+
N
i
r
−
n
N
i
2
r
+
1
2
∂
N
i
∂z
n
N
i
r
+
1
2
∂
N
i
∂r
−
N
i
r
+
1
2
∂
N
i
∂z
∂
N
i
∂z
−
n
N
i
2
r
+
1
2
∂
N
i
∂z
т
,
(
i
= 1
, . . . , m
)
.
Уравнение движения (5) при использовании (4), (8) в матричной
форме
σ
= C
ε
−
D
T,
ε
= BU
,
преобразуется к следующему виду:
LU
−
GΘ +
λ
MV = 0
.
(11)
Здесь
L
,
G
,
M
— элементные матрицы, а
V
— вектор значений ско-
рости в узлах.
Элементы матриц в (8)–(11) рассчитываются следующим образом:
L
e
=
Z
Ω
B
т
CB
dr dz,
G
e
=
Z
Ω
B
т
DB
dr dz,
M
e
=
Z
Ω
ρ
NN
т
dr dz.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 33