4 / 12
Рис. 1. Конструкция резонатора ВТГ (
а
), конечно-элементная аппроксимация
геометрии (
б
) и его деформация по второй форме колебаний (
в
)
гости и нестационарной теплопроводности [13]. Согласно теории тер-
моупругости связь между векторами напряжений и деформаций уста-
навливается в виде
σ
= D
ε
= D(
ε
El
−
ε
T
)
,
(4)
где
ε
El
,
ε
T
— тензоры упругих и температурных деформаций;
σ
—
тензор напряжений;
D
— 6
×
6 тензор модулей упругости.
Тензоры напряжений и деформаций состоят из
x
,
y
и
z
нормальных
компонент и
x – y
,
y – z
и
z – x
касательных компонент.
Уравнения движения упругой среды получаются, если приравнять
силу внутренних напряжений
∇ ∙
σ
произведению ускорения на массу
единицы объема тела (т.е. на его плотность)
ρ
¨u
. Векторная форма
уравнения движения имеет вид
ρ
∂
2
u
∂t
2
=
∇ ∙
σ.
(5)
Здесь
ρ
— объемная плотность;
u
— вектор перемещений.
Уравнения (4) и (5) образуют полную систему дифференциальных
уравнений в частных производных для напряжений и деформаций. К
(4) и (5) следует еще присоединить граничные условия, на которых не
будем останавливаться.
Связь деформации с температурой устанавливается с помощью за-
конов термодинамики. Уравнение теплопроводности при малом тер-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 2 31