Для построения марковской модели системы требуется задать мо
-
дели входных воздействий
.
В настоящей работе предполагается
,
что
процессы
n
и
η
являются белыми гауссовскими шумами с нулевыми
математическими ожиданиями и дисперсиями
σ
2
n
и
σ
2
η
соответственно
.
Уравнение
(3)
не описывает марковский процесс
,
поскольку текущее
состояние системы зависит не только от предыдущего состояния
,
но и
от более ранних
.
Для устранения этого вводится новая переменная
y
по
следующему правилу
:
y
k
+1
= 2
x
k
+1
−
x
k
−
η
k
+
S
(
m
−
1)
n
k
+
S
(
m
−
1) sin
x
k
.
Отсюда после несложных преобразований получим
x
k
+1
=
−
Sm
sin
x
k
+
y
k
+ (
η
k
−
Smn
k
)
,
y
k
+1
=
−
x
k
−
S
(
m
+ 1) sin
x
k
+ 2
y
k
+ (
η
k
−
S
(
m
+ 1)
n
k
)
.
(4)
Данная система является марковской
.
Выразив из системы уравне
-
ний
(4)
шумовые воздействия
η
k
и
n
k
,
получим
η
k
= (
m
+ 1)
x
k
+1
−
my
k
+1
−
mx
k
+ (
m
−
1)
y
k
,
n
k
=
1
S
(
x
k
+1
−
y
k
+1
−
x
k
+
y
k
−
S
sin
x
k
)
.
(5)
Условная вероятность перехода в таком случае имеет вид
q
(
x
k
+1
, y
k
+1
|
x
k
, y
k
) =
1
2
πσ
η
σ
n
S
exp
µ
−
η
2
k
2
σ
2
η
¶
exp
µ
−
n
2
k
2
σ
2
n
¶
,
(6)
где
η
k
и
n
k
определены согласно выражениям
(5).
Уравнение Колмогорова
–
Чепмена для системы второго порядка
имеет вид
[4]
W
k
+1
(
x
k
+1
, y
k
+1
) =
+
∞
Z
−∞
+
∞
Z
−∞
q
(
x
k
+1
, y
k
+1
|
x
k
, y
k
)
W
k
(
x
k
, y
k
)
dx
k
dy
k
,
(7)
где
W
k
—
плотность распределения вероятности фазовых координат
на
k
-
м шаге
.
Данное уравнение может быть решено численно
,
но для
этого необходимо проделать некоторые преобразования
.
С точки зре
-
ния наблюдателя не существует разницы между значениями фазовой
ошибки
,
отличающимися на
2
πn
.
Поэтому фазовое пространство мож
-
но свернуть благодаря наличию инвариантных точек
(
поведение систе
-
мы в окрестности инвариантных точек одинаково
) [5].
Для того что
-
бы найти инвариантные точки
,
воспользуемся системой
(4),
примем
η
k
= 0
,
n
k
= 0
и получим
x
k
+1
=
−
Sm
sin
x
k
+
y
k
,
y
k
+1
=
−
x
k
−
S
(
m
+ 1) sin
x
k
+ 2
y
k
.
(8)
ISSN 0236-3933.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Приборостроение
". 2004.
№
4 61
