О периодических решениях уравнений движения динамически настраиваемого гироскопа - page 7

³y(2)
3 ´0 = y(2)
4 ,
³y(2)
4 ´0 = −y(2)
3 ,
y(2)
1 (0) = y(2)
2 (0) = 0 .
Отсюда y(2)
1 ≡ y(2)
2 ≡ y(2)
3 ≡ y(2)
4 ≡ 0, поскольку y(2)
1 (0) и y(2)
2 (0)
равны нулю. Решения y(3)
i , i = 1, 2, 3, 4, находим из системы уравнений
³y(3)
1 ´0 = −( K − 1) −1 y(3)
2 + (K − 1)− 1Y (3)
1 − h2 ( K − 1) −1 y(1)
2 ,
³y(3)
2 ´0 = (K − 1)− 1 y(3)
1 + (K − 1) −1 Y (3)
2 + h2 (K − 1)− 1y (1)
1 ,
³y(3)
3 ´0 = y(3)
4 + (K − 1)− 1Y (3)
3 + h2 y(1)
4 ,
³y(3)
4 ´0 = −y(3)
3 + ( K − 1)− 1 Y (3)
4 − h2 y(1)
3 ,
(7)
где
Y (3)
1 = N1 cos3 τ + N 2 sin 3 τ + N 3 cos τ sin2 τ + N 4 cos2 τ sin τ,
Y (3)
2 = −N 2 cos3 τ − N1 sin3 τ − N4 cos τ sin 2 τ − N 3 cos2 τ sin τ,
Y (3)
3 = N1 cos3 τ + N 2 sin 3 τ + N 3 cos τ sin2 τ + N 4 cos2 τ sin τ,
Y (3)
4 = −N 2 cos3 τ − N1 sin3 τ − N4 cos τ sin 2 τ − N 3 cos2 τ sin τ,
N 1 =
( K − 1)(9K − 4 − 12K 2)
6K
, N 2 =
( K − 1) 3
K
,
N3 =
( K − 1)(4 − 5K )
2K
, N 4 =
(K − 1)(3K − 3K2 − 1)
K
.
Условие существования периодических решений имеет вид
2π Z0
Y (3)
4 cos τ dτ +
2π Z0
Y (3)
3 sin τ dτ = 0 ,
− h2 +
1
2πω2
2π Z0
Y (3)
1 sin τ dτ − 1
2πω 2
2π Z0
Y (3)
2 cos τ dτ = 0 .
Первое из этих условий выполнено всегда, а из второго находим
h2 = (1/2)(3K − 1). Тогда периодическое решение системы (7) име -
ет следующий вид:
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н .Э. Баумана . Сер. "Приборостроение". 2004. № 1 71