Операция свертки оптических сигналов в области пространствен-
ных частот.
Как известно, свертка двух функций может быть пред-
ставлена как обратное фурье-преобразование произведения фурье-
образов этих функций, т.е.
f
1
(
t
)
⊗
f
2
(
t
) =
F
−
1
{
F
{
f
1
(
t
)
} ·
F
{
f
2
(
t
)
}}
,
следовательно, выполнение свертки может происходить в фурье-
плоскости объектива.
Преобразование Фурье одной функции осуществляется линзой, а
преобразование Фурье второй функции зарегистрировано в голограм-
ме. Для осуществления свертки выполняется фурье-преобразование
результата произведения фурье-образов с помощью второй линзы. При
этом результат свертки двоичных функций является функцией смешан-
ного формата. Использование не обратного, а прямого преобразования
Фурье, как известно, приведет только к необходимости изменения на-
правления осей координат в плоскости восстановленного изображения
для правильной трактовки результата.
Например, рассмотрим случай умножения
5
×
7 = 35
, что в дво-
ичной записи выглядит так
101
×
111 = 100011
(результат произведе-
ния в смешанном формате имеет вид
11211)
. Входные сигналы могут
быть представлены в виде суммы дельта функций
δ
(
X
−
X
0
)
(двоич-
ные единицы), разнесенных между собой на расстояния
n
×
a
, где
n
— номер разряда, что не совсем корректно, так как любой реальный
источник имеет конечную ширину, но для наглядности его шириной
пренебрегаем. Учет ширины источника приведет к некоторому раз-
мытию конечной картины. Таким образом, входные сигналы имеют
вид
101
→
δ
(
X
) +
δ
(
X
−
2
a
)
F
→
1 +
e
−
i
2
πν
2
a
;
111
→
δ
(
X
) +
δ
(
X
−
a
) +
δ
(
X
−
2
a
)
F
→
1 +
e
−
i
2
πνa
+
e
−
i
2
πν
2
a
,
где
ν
— пространственная частота, равная
X/
(
λf
)
для линзы с фокус-
ным расстоянием
f
и рабочей длиной волны излучения
λ
.
Перемножая два выражения, получаем
1 +
e
−
i
2
πν
2
a
1 +
e
−
i
2
πνa
+
e
−
i
2
πν
2
a
=
= 1 +
e
−
i
2
πν
(
a
)
+ 2
e
−
i
2
πν
(2
a
)
+
e
−
i
2
πν
(3
a
)
+
e
−
i
2
πν
(4
a
)
.
Проводя обратное преобразование Фурье, получим результат свертки:
1 +
e
−
i
2
πν
(
a
)
+ 2
e
−
i
2
πν
(2
a
)
+
e
−
i
2
πν
(3
a
)
+
e
−
i
2
πν
(4
a
)
F
−
1
→
→
δ
(
X
) +
δ
(
X
−
a
) + 2
δ
(
X
−
2
a
) +
δ
(
X
−
3
a
) +
δ
(
X
−
4
a
)
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2005. № 4 33
