Используем матрицу
Р
для преобразования вектора состояний
Х
к
вектору
Х
с
. Новый вектор состояния
Х
с
связан с исходным вектором
соотношением
X
с
= P
−
1
X
, и система дифференциальных уравнений
(5) преобразуется к виду:
˙X
с
= A
д
X
с
+ B
д
U;
Y = C
д
X
с
+ DU
,
,
(6)
где
Р
−
1
— матрица, обратная
Р
;
A
д
= P
−
1
AP
;
B
д
= P
−
1
B
;
C
д
= CP
.
Поскольку на интервалах движения
0
< t < t
k
−
t
З
и
t > t
k
−
t
З
имеются две матрицы
А
−
А
1
и
А
2
, то соответственно есть две матрицы
преобразований
Р
1
и
Р
2
и пары матриц
B
д
1
,
B
д
2
и
C
д
1
,
C
д
2
.
Известно [11], что решение системы уравнений (6) для
U
(
t
) =
=
const
=
U
можно записать как
X
с
(
t
) =
Ф
(
t
)X
с
(0) + A
−
1
д
[
Ф
(
t
)
−
E]B
д
U,
(7)
где
Ф
(
t
) = diag[exp(
α
1
t
)
,
exp(
α
2
t
)
,
exp(
α
3
t
)]
— переходная диагональ-
ная матрица;
α
1
, α
2
, α
3
— собственные значения матрицы
А
;
X
с
(0)
—
значение вектора состояния при
t
= 0
;
A
−
1
д
— матрица, обратная
A
д
,
A
−
1
д
= diag[1
/α
1
,
1
/α
2
,
1
/α
3
]
;
Е
— единичная диагональная матрица;
U
=
U
м
1
в интервале времени
t
от0 до
t
k
−
t
З
и
U
=
U
м
1
+
U
п
в
интервале времени
t
от
t
k
−
t
З
до
t
y
−
t
З
.
Используя допущение 3, из формул (6) и (7) получаем в случае дей-
ствительного максимального собственного значения
α
1м
из значений
α
11
, α
21
, α
31
в интервале
t
от0 до
t
k
−
t
З
следующие выражения:
Δ
f
УГ
(
t
)
S
УГ
×
U
м
1
×
b
1
f
×
e
α
1
м
t
=
c
1
м
f
×
b
1
м
α
1
м
×
e
α
1
м
t
×
U
м
1
;
Ф
У
(
t
)
S
УГ
×
U
м
1
×
b
1
fi
×
e
α
1
м
t
=
c
1
м
fi
×
b
1
м
α
1
м
×
e
α
1
м
t
×
U
м
1
,
⎫⎪⎪⎬
⎪⎭
(8)
где
c
1
м
f
, c
1
м
fi
, b
1м
— элементы матриц
C
д
1
и
B
д
1
, соответствующие
α
1м
.
Из выражения (8) получаем
b
1
f
=
c
1
м
f
×
b
1
м
α
1
м
×
S
УГ
, b
1
fi
=
c
1
м
fi
×
b
1м
α
1
м
×
S
УГ
.
Для комплексных собственных значений
α
1
м
=
Re
α
1
м
+
i
Im
α
1
м
,
имеющих максимальную действительную часть Re
α
1
м
, можно найти
асимптоты в виде
Δ
f
УГ
(
t
)
S
УГ
U
м
1
|
b
1
f
|
e
Re
α
1
м
t
;
Ф
у
(
t
)
S
УГ
U
м
1
|
b
1
fi
|
e
Re
α
1
м
t
,
(9)
где
|
b
1
f
|
= 2
c
1
м
f
b
1
м
α
1
м
S
УГ
,
|
b
1
fi
|
= 2
c
1
м
fi
b
1
м
α
1
м
S
УГ
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2008. № 3 61
