При решении (2) удобно использовать модальную каноническую
модель динамической системы, в которой переходная матрица име-
ет диагональную форму. Для формирования такой канонической SS-
модели используем функцию eig в MATLAB [6]:
[P
,
A
д
] =
eig
(A)
,
где
A
д
— диагональная матрица, содержащая на главной диагонали
собственные числа матрицы
A
;
P
— матрица правых собственных
векторов
A
. Используем матрицу
P
для преобразования вектора со-
стояний
X
в вектор
X
C
. Новый вектор состояния
X
C
связан с исход-
ным вектором соотношением
X
C
= P
−
1
X
, тогда система уравнений
(2) преобразуется к виду
˙X
C
= A
д
X
C
+ B
д
U;
Y = C
д
X
C
+ DU
.
(3)
Здесь
P
−
1
— матрица, обратная к матрице
P
;
A
д
= P
−
1
AP
;
B
д
= P
−
1
B
;
C
д
= CP
.
На интервалах движения
t < t
k
и
t > t
k
существуют две матрицы
A
, следовательно, и две матрицы преобразований
P
1
и
P
2
, а также
пары матриц
B
д
1
,
B
д
2
и
C
д
1
,
C
д
2
.
Известно, что решение (3) для
U
(
t
) =
const
=
U
можно записать
как
X
C
(
t
) = Φ(
t
)X
C
(0) + A
−
1
д
[Φ(
t
)
−
E]B
д
U,
(4)
где
Φ(
t
) =
diag
[exp(
α
1
t
)
,
exp(
α
2
t
)
,
exp(
α
3
t
)]
— переходная диагональ-
ная матрица для системы ФАПЧ третьего порядка;
α
1
, α
2
, α
3
— соб-
ственные значения матрицы
A
;
X
C
(0)
— начальное значение вектора
состояния на своем подынтервале времени;
A
−
1
д
=
diag
[1
/α
1
,
1
/α
2
,
1
/α
3
]
— матрица, обратная матрице
A
д
;
Е
— единичная диагональная матри-
ца;
U
=
−
U
max
на интервале времени
t < t
k
и
U
=
−
U
max
+
U
П
на
интервале времени
t > t
k
.
Полагая, что на субинтервале времени
t
n
−
1+
. . . t
n
−
в (4)
Φ(
t
) =
=Φ
1
(
t
−
t
n
−
)=
diag
[exp(
α
11
(
t
−
t
n
−
))
,
exp(
α
21
(
t
−
t
n
−
))
,
exp(
α
31
(
t
−
t
n
−
))]
,
X
C
(0) = X
C
1
(
t
n
−
1+
)
и
t
=
t
n
−
, с учетом (1) получаем трансцендент-
ное уравнение для определения периода биений
T
n
:
C
д1УГ
{
Φ
1
(
T
n
)X
C
1
(
t
n
−
1+
) + A
−
1
д
1
[Φ
1
(
T
n
)
−
E]B
д
1
(
−
U
max
)
}
=
−
2
πN,
(5)
где
C
д1УГ
— вторая строка матрицы
C
д
1
;
X
C
1
(
t
n
−
1+
) = P
−
1
1
X(
t
n
−
1+
)
;
X(
t
n
−
1+
) = X(
t
n
−
1
−
)
за исключением состояния
Φ
УГ
(
t
n
−
1+
) = 0
. Ре-
шение (5) можно найти, используя различные итерационные процеду-
ры, в частности в MATLAB функцию fzero. Определив период биений
T
n
, находим из (4) вектор состояний ФАПЧ3:
X
1
(
t
n
−
) = P
1
{
Φ
1
(
T
n
)X
C
1
(
t
n
−
1+
)+A
−
1
д1
[Φ
1
(
T
n
)
−
E]B
д
1
(
−
U
max
)
}
.
(6)
Таким образом, (5) и (6) — это система нелинейных разностных урав-
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 1 83
