ференциальными уравнениями (1) с учетом скачков ее фазы
Φ
УГ
(
t
)
на
2
πN
в моменты времени
t
n
.
Применение метода пространств состояний для решения за-
дач.
Поведение
Φ
УГ
(
t
)
и других координат (состояний) ФАПЧ3 вну-
три участков периода биения
T
n
, а также значения периода
T
n
найдем
методом пространств состояний. В качестве состояний примем напря-
жения на конденсаторах ФНЧ1 и ФНЧ2 (
C
11
, C
21
и
U
C
11
(
t
)
, U
C
21
(
t
)
)
и фазу
Φ
УГ
(
t
)
сигнала УГ в качестве выходного сигнала — отклоне-
ние частоты от номинала
f
УГ
(
t
) =
S
УГ
[
e
Ф
(
t
) +
U
(
t
)]
и фазу
Φ
УГ
(
t
)
сигнала УГ. Тогда в соответствии с рис. 1 линейные векторные диффе-
ренциальные уравнения, описывающие систему ФАПЧ3 на участках
периода
T
n
и при
t > t
з
, имеют вид
˙X(
t
) = AX(
t
) + BU(
t
);
Y(
t
) = CX(
t
) + DU(
t
)
,
(2)
где
X(
t
)
— вектор состояния системы;
A
— матрица системы;
B
—
вектор управления;
U =
U
(
t
)
;
Y(
t
)
— вектор выхода (для схемы, при-
веденной на рис. 1:
Y(
t
) = [
f
УГ
(
t
); Φ
УГ
(
t
)]
);
С
— матрица выхода;
D
—
матрица компенсации; для ФАПЧ3
X(
t
) = [
U
C
21
(
t
);
U
C
11
(
t
); Φ
УГ
(
t
)]
или
X(
t
) = [
U
C
22
(
t
);
U
C
12
(
t
); Φ
УГ
(
t
)]
. Матрица для
t < t
k
A
1
=
−
1
/
(
R
11
C
21
) 1
/
(
R
11
C
21
)
0
1
/
(
R
11
C
11
)
−
1
/
(
R
11
C
11
)
−
i
max 1
/
(2
πNC
11
)
0
2
πS
УГ
0
,
матрица для
t > t
k
A
2
=
−
1
/
(
R
12
C
22
) 1
/
(
R
12
C
22
)
0
1
/
(
R
12
C
12
)
−
1
/
(
R
12
C
12
)
−
i
max 2
/
(2
πC
12
)
0
2
πS
УГ
0
;
C =
0
S
УГ
0
0 0 1
;
D = [
S
УГ
; 0]
,
B = [0; 0; 2
πS
УГ
];
на участках периода
T
n
начальный вектор состояния равен
X(
t
n
−
1
) = [
U
C
21
(
t
n
−
1
);
U
C
11
(
t
n
−
1
); 0]
,
вектор состояния —
X(
t
n
−
) = [
U
C
21
(
t
n
−
);
U
C
11
(
t
n
−
);
−
2
πN
]
,
начальный
вектор состояния для линейного режима ФАПЧ при
t > t
з
(
t
l
=
t
з
) —
X
(
t
l
) = [
U
C
21
(
t
l
);
U
C
11
(
t
l
); 0]
.
Далее для решения поставленных задач будем использовать
MATLAB. Отметим, что матрицы
X
,
B
,
Y
,
D
записаны в соответ-
ствии с правилами оформления матриц в MATLAB. В пакете при-
кладных программ Control System Toolbox MATLAB представление
модели системы регулирования, которой является ФАПЧ3, в виде
четверки матриц
A
,
B
,
C
,
D
называется представлением в SS-форме
пространств состояний [6, 7].
82 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 1
