Поскольку система ФАПЧ3 устойчива в “малом”, т.е.
Y
t
→∞
= 0
, из
(7) следует, что
−
C
д
1
A
−
1
д1
B
д1
(
−
U
max
)+D
1
(
−
U
max
) = 0
. С учетом этого
(7) представим как
Y = C
д
1
Φ
1
(
t
−
t
з
)[X
C1
(
t
з
) +A
−
1
д1
B
д1
(
−
U
max
)]
. Вто-
рой член (7) в квадратных скобках запишем в виде
A
−
1
д1
B
д1
(
−
U
max
) =
= P
−
1
1
×
P
1
A
−
1
д1
B
д1
U
max
= P
−
1
1
U
ст
(
−
U
max
)
, где
U
ст
= P
1
A
−
1
д1
B
д1
=
= [1; 1; 0]
— вектор, определяющий стационарное значение вектора
состояний ФАПЧ3
X
ст
= lim
t
→∞
[
U
C
21
(
t
);
U
C
11
(
t
); Φ
УГ
(
t
)] = U
ст
U
max
.
С учетом приведенных соотношений выражение (7) упрощается
Y = C
д
1
Φ
1
(
t
−
t
з
)P
−
1
1
ΔX
1
(
t
з
)
,
(8)
где
ΔX
1
(
t
з
) = X
1
(
t
з
) + U
ст
(
−
U
max
)
можно считать как отклонение
вектора состояния ФАПЧ от стационарного значения.
Из рис. 3,
а
(кривая
2
) следует, что при больших отклонениях вре-
мени (
t
t
з
,
t
t
k
) от моментов возмущений в линейной ФАПЧ3
переходный процесс
Π
пр
для отклонений по частоте
Π
прЧ
(прямые
4
,
5
)
и фазе
Π
прФ
можно описывать уравнениями экспоненциальных асимп-
тот (огибающих
Π
пр
):
Δ
f
(
t
)
≈
b
f
exp(
α
(
t
−
t
η
));
Φ
У
(
t
)
≈
b
fi
exp(
α
(
t
−
t
η
))
,
(9)
где
t
η
=
t
з
или
t
η
=
t
k
;
b
f
и
α
— некоторые параметры, подлежащие
определению,
b
fi
= 2
πb
f
/α
.
Если не проводить коммутации ТПЧ (
ω
б
=
ω
б1
=
ω
б2
), то, исполь-
зуя (9), время
t
p
1
f
переходного процесса по частоте
Π
прЧ
и время
t
p
1
fi
переходного процесса по фазе
Π
прФ
можно определить по выражениям
t
p
1
f
=
t
з
+ ln
Δ
f
ε
b
1
f
1
α
1
;
t
p
1
fi
=
t
з
+ ln
Δ
f i
ε
b
1
fi
1
α
1
.
В случае действительного максимального собственного значения
α
1 max
(из значений
α
11
, α
21
, α
31
) с учетом (9) из (8) при
t
=
t
з
. . . t
k
получим
Δ
f
УГ
(
t
)
≈
b
1
f
e
α
max
(
t
−
t
з
)
=
c
1 max
f
ΔX
C
1 max
(
t
з
)
e
α
max
(
t
−
t
з
)
;
Φ
УГ
(
t
)
≈
b
1
fi
e
α
max
(
t
−
t
з
)
=
c
1max
fi
ΔX
C
1 max
(
t
з
)
e
α
max
(
t
−
t
з
)
,
где
c
1 max
f
,
c
1 max
fi
,
ΔX
C
1 max
(
t
з
)
— элементы матрицы
C
д
1
и вектора
ΔX
C
1
(
t
з
) = P
−
1
1
ΔX
1
(
t
з
)
, соответствующие значению
α
1max
. Из (9)
имеем
b
1
f
=
c
1 max
f
ΔX
C
1max
(
t
з
)
,
b
1
fi
=
c
1max
fi
ΔX
C
1max
(
t
з
)
.
Для комплексных собственных значений
α
1 max
=
Re
(
α
1max
) +
+
i
Im
(
α
1 max
)
с максимальной действительной частью Re
(
α
1max
)
мож-
но найти асимптоты в виде
Δ
f
УГ
(
t
)
≈ |
b
1
f
|
e
Re
(
α
1 max
)(
t
−
t
з
)
;
Φ
УГ
(
t
)
≈ |
b
1
fi
|
e
Re
(
α
1 max
)(
t
−
t
з
)
,
86 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 1
