По условию (2) имеем
||
A
0
|| · ||
X
0
|| ≥ ||
B
0
||
, откуда
(
||
A
0
|| · ||
X
0
||
)
−
1
≤ ||
B
0
||
−
1
и потому
||
ΔB
|| ·
(
||
A
0
|| · ||
X
0
||
)
−
1
≤ ||
ΔB
|| · ||
B
0
||
−
1
=
δ
B
.
Окончательно запишем точную оценку вариации погрешности ал-
горитма в виде усиленной суммы матричных вариаций, внесенных
формирователем:
δX
≤
K
(
δ
B +
δ
A)
.
(5)
В частности, если
δ
A = 0
, то
K
=
ν
, и тогда
δX
≤
ν δ
B
.
(6)
Видно, что 1% погрешности в формируемых матрицах может пе-
рейти в
K
% погрешности результата, естественно
K >
1
. Получен-
ная аналитическая оценка справедлива лишь при соблюдении условия
d >
0
, из которого следует, что при
ν
= 1
и вариации
δX
= 10
%
величина
δ
A
должна быть не более 9%, но при
ν
= 100
и вариации
δX
= 10
% величина
δ
A должна быть не более 0,09%. Этот пример
указывает на чрезвычайную роль числа обусловленности матрицы.
Относительная методическая погрешность решателя является уси-
ленной суммой относительных погрешностей исходных матриц. По-
скольку главная часть нормы вектора определяется доминирующи-
ми компонентами вектора, то оценка
δX
будет объективно близ-
кой по отношению к доминирующим компонентам. Например, если
X
0
= (1
,
50
,
20)
т
и абсолютная погрешность
Δ
X
= (0
,
2
,
5
,
2)
т
, то в
сферической норме
||
X
0
|| ≈
54
,
||
Δ
X
|| ≈
5
,
4
,
δX
≈
0
,
1
, при этом от-
носительные погрешности
Δ
x
1
/x
1
≈
0
,
2
,
Δ
x
2
/x
2
≈
0
,
1
,
Δ
x
3
/x
3
≈
0
,
1
,
что отчетливо демонстрирует явление неустойчивости оценки по-
грешности меньшего параметра
x
1
= 1
на фоне оценок больших
параметров. Проблема идентификации малых параметров, вообще
говоря, относится к классу некорректных задач [13]. Принципиально
необходимо проводить исследование чувствительности оценок малых
параметров к влиянию разброса оценок доминирующих параметров.
В изложенном способе оценивания нормы погрешности решателя
по умолчанию принимается гипотеза о максимально неблагоприятном
распределении знаков всевозможных ошибок, так что подобные оцен-
ки являются гарантирующими, в случае супремальности — минимакс-
ными, что актуально в стохастических условиях с высоким уровнем
неопределенности.
Замечание.
При любой матричной норме
A
≥
max
1
≤
i
≤
n
|
λ
i
|
, где
{
λ
}
—
спектр собственных чисел матрицы A, тогда
A
−
1
≥
1
/
min
1
≤
i
≤
n
|
λ
i
|
. Отсю-
да
ν
≥
1
. Норма матрицы
||
A
||
, подчиненная векторной сферической норме
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 4 93
