Точность алгоритмов параметрической идентификации - page 3

B = B0 + ΔB, то идеальный решатель по уравнению (A0 + ΔA) ×
× X = B 0 + ΔB выдаст возмущенное решение X = X0 + ΔX . Здесь
ΔA ∈ Rn×n и ΔB, ΔX ∈ Rn — абсолютные погрешности. Абсолютная
погрешность идентификации ΔX в определенном смысле оказывается
наследственной погрешностью решателя. Источниками нетривиально-
сти ΔA, ΔB могут являются флуктуационные составляющие в запи-
сях экспериментальных данных, а также неточности аппроксимации
математических операторов в алгоритме формирователя, в том числе
вычислительные погрешности округления.
Требуется исследовать точностные характеристики алгоритма про-
изводящих функций [6] применительно к параметрической иденти-
фикации математической модели короткопериодического продольного
движения летательного аппарата [5].
Оценивание наследственной погрешности решателя. Вычита-
нием двух матричных уравнений (A0 + ΔA)(X0 + ΔX ) = B0 + ΔB
и A0 X0 = B0 с невырожденной матрицей A 0 получаем матричное
уравнение относительно ΔX :
ΔX = A−1
0 · (ΔB − ΔA · X0 − ΔA · ΔX ). (1)
Опираясь на условие согласованности матричной и векторной норм
||A · X|| ≤ ||A|| · ||X ||, (2)
применим к (1) неравенство треугольника и получим
||ΔX || ≤ ||A−1
0 || · (||ΔB|| + ||ΔA || · ||X0|| + ||ΔA || · ||ΔX ||),
откуда
||ΔX || · (1 − ||A−1
0 || · ||ΔA ||) ≤ ||A−1|| · (||ΔB|| + ||ΔA|| · ||X0 ||). (3)
Введем в рассмотрение вариации норм
δX = ||ΔX ||/||X0 ||, δB = ||ΔB ||/||B0 ||, δA = ||ΔA||/||A0 ||,
а также обозначим ν — число обусловленности, d — дискриминант
корректности, K — коэффициент усиления ошибок:
ν = ||A0 || ||A−1
0 ||, d = 1 − ν δA, K = ν/d.
Необходима положительность дискриминанта корректности
d = 1 − ν δA > 0, (4)
чтобы из (3) получить точную верхнюю оценку абсолютной погреш-
ности решения
||ΔX|| ≤ K (||X0||δ A + ||A0 ||−1 · ||ΔB||),
а также точную верхнюю оценку вариации решения
δX ≤ K[ δA + ||ΔB|| · (||A0|| · ||X0 ||)−1 ].
92 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2013. № 4