˙
x
2
=
A
2
x
2
+
B
2
u
2
;
y
2
=
C
2
x
2
,
но здесь
x
2
∈
R
128
— вектор состояния, а именно отклонения токов
в активных и пассивных структурах;
u
2
∈
R
11
— отклонения напря-
жений на обмотках полоидального магнитного поля;
y
2
∈
R
— вектор
отклонений измеренных токов в обмотках управления. Данная система
имеет 128-й порядок (на один больше, чем исходная) за счет включен-
ного в нее замкнутого контура вертикальной стабилизации с диффе-
ренцирующим фильтром, имеющим один нуль в начале координат и
один устойчивый полюс. Далее по тексту все векторы и матрицы,
относящиеся к модели токов в обмотках центрального соленоида и
полоидального магнитного поля, обозначены индексом 2.
Как будет показано далее, для синтеза предлагаемого закона упра-
вления необходимо иметь модель объекта с числом состояний, равным
числу входов и выходов, что может быть достигнуто с помощью ре-
дукции исходной системы. Общий принцип редукции состоит в отбра-
сывании тех состояний, которые вносят наименьший вклад в общую
взаимосвязь между входами и выходами системы [18, 19].
Для иллюстрации использованного подхода составим матричную
функцию
X
(
t
) =
e
A
2
t
B
2
, которую можно интерпретировать как матри-
цу, состоящую из векторов-столбцов состояний системы при подаче
дельта-функций отдельно на каждый из ее входов. Для оценки значе-
ния этой функции можно использовать матрицу
P
=
∞
0
X
(
t
)
X
т
(
t
)
dt
=
∞
0
e
A
2
t
B
2
B
т
2
e
A
т
2
t
dt,
(3)
называемую грамианом управляемости. Эта матрица описывает сте-
пень влияния импульсного входа на различные компоненты вектора
состояния
x
2
. Путем перехода к новому базису в пространстве состо-
яний исходную систему можно привести к такому виду, что матрица
P
будет диагональной. В этом случае ее элементы будут отражать
степень влияния входов на каждый элемент вектора состояния или от-
носительную управляемость каждого состояния. Однако мы не можем
освободиться от переменных, которые соответствуют малым диаго-
нальным элементам, так как они могут оказывать сильное влияние на
выход. Поэтому целесообразно оценить, какой вклад в энергию выхо-
да дают различные состояния. Если вход равен нулю, то выход будет
y
2
(
t
) =
C
2
e
A
2
t
x
20
с вектором начальных условий
x
20
. Тогда энергию
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 2 29
