выхода можно измерить с помощью скаляра
∞
0
y
т
2
(
t
)
y
2
(
t
)
dt
=
x
т
20
∞
0
e
A
т
2
t
C
т
2
C
2
e
A
2
t
dt x
20
=
x
т
20
Qx
20
,
где матрица
Q
=
∞
0
e
A
т
2
t
C
т
2
C
2
e
A
2
t
dt
(4)
называется грамианом наблюдаемости. Ее также можно сделать диа-
гональной, и диагональные элементы будут отражать степень влияния
каждой компоненты вектора состояния в новом базисе на выход си-
стемы (при нулевом значении входа).
Можно доказать [18, 19], что в пространстве состояний управляе-
мой и наблюдаемой системы может быть найден такой базис, который
делает грамианы управляемости и наблюдаемости, равными одной и
той же диагональной матрице
P
=
Q
=
diag
(
σ
1
, σ
2
, . . . , σ
n
) Σ
, г де
σ
1
σ
2
. . .
σ
n
>
0
называются ганкелевыми сингулярными
числами системы.
Грамианы управляемости и наблюдаемости определены только для
асимптотически устойчивых систем, так как в противном случае ин-
тегралы в выражениях (3) и (4) расходятся. Поэтому для редукции
модели с неустойчивой матричной передаточной функцией
W
(
s
)
она
предварительно раскладывается (декомпозируется) на сумму двух ма-
тричных передаточных функций
W
(
s
) =
W
s
(
s
) +
W
u
(
s
)
, г де все по-
люса
W
s
(
s
)
лежат в открытой левой полуплоскости
C
−
, а все полюса
W
u
(
s
)
— в замкнутой правой полуплоскости
¯
C
+
(
C
=
C
−
∪
¯
C
+
—
комплексная плоскость). Порядок устойчивой части понижается пу-
тем отбрасывания состояний, соответствующих значениям ганкелевых
сингулярных чисел в
Σ
ниже определенного порога, в результате чего
определяется редуцированная устойчивая часть
W
sa
(
s
)
. Затем общая
редуцированная система получается суммированием редуцированной
устойчивой части и отделенной ранее неустойчивой передаточной ма-
трицы:
W
a
(
s
) =
W
sa
(
s
) +
W
u
(
s
)
.
У рассматриваемой системы 128-го порядка со скалярным конту-
ром подавления вертикальной неустойчивости плазмы имеется один-
надцать полюсов, лежащих практически в начале координат, что свя-
зано с очень низким сопротивлением сверхпроводящих обмоток цен-
трального соленоида и полоидальных магнитных полей. Таким обра-
зом, система разделяется на две подсистемы — неустойчивую 11-го
порядка, отражающую динамику токов в самих магнитных обмотках,
и устойчивую 117-го порядка, которая представляет динамику наве-
денных токов Фуко в пассивных структурах. В ходе численного экспе-
30 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2010. № 2
