2 / 9
Оценка погрешностей измерения толщин многослойных пленочных покрытий…
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 3
5
нейную регрессию, полагая, что измерения коэффициента отражения распреде-
лены согласно нормальному закону с дисперсией
i
σ
для длины волны
.
i
λ
В этом случае функцию невязки в зависимости от вектора толщин пленочного
покрытия
1
{ ,
,
}
K
d d
=
d
можно записать в виде
[
]
2
2
1
1
( )
( , )
( ) ,
N
t
i
m i
i
i
R
R
=
η =
λ − λ
σ
d
d
(1)
где
t
R
— коэффициент отражения пленочного покрытия на длине волны
,
i
λ
вычисленный с использованием математической модели для толщин
;
d
m
R
— коэффициент отражения, полученный путем измерений.
Толщины пленки находят путем поиска минимума функции невязки (1).
Точка
ˆ ,
d
в которой она достигает минимума, является решением задачи.
Найденные в результате описанных вычислений значения отличаются от дей-
ствительных значений толщин, поскольку измерения коэффициента отражения
m
R
выполнены с некоторыми ошибками. Поэтому кроме нахождения значений
толщины также необходимо знать погрешности их измерения.
В работах [4, 5], затрагивающих вопрос оценки погрешностей измерения,
использовано линейное приближение, поэтому оценка, полученная с помощью
приведенных выражений, будет грубой. Более точное оценочное значение по-
грешности измерения может быть определено с использованием оценки сред-
неквадратического отклонения параметров, найденных в результате регресси-
онного анализа. Для получения такой оценки в случае нелинейной регрессии
функцию математической модели приближают линейной. Тогда матрица кова-
риаций найденных параметров может быть вычислена следующим образом [6]:
2 т 1
cov
( ) ,
−
= σ
d P P
где
P
— матрица производных функции
t
R
размером
;
N K
×
,
( , ) .
t
i
i j
j
R P
d
∂ λ =
∂
d
Следовательно, дисперсия найденного параметра
j
d
равна
2
,
ˆ cov( ) .
j
j j
d
σ =
d
Получаем, что при неизвестных среднеквадратических отклонениях изме-
рений среднеквадратические отклонения найденных с помощью метода
наименьших квадратов параметров в первом приближении можно вычислить с
помощью выражения
(
)
т 1
0
,
ˆ
,
j
d
j j
−
σ = σ
P P
(2)
где
0
ˆ
σ
— оценочное среднеквадратическое значение ошибки, которое для
N
измерений и
K
неизвестных, при условии, что среднеквадратические отклоне-
ния измерений равны, может быть вычислено по формуле
0
ˆ( )
ˆ
.
N K
η σ =
−
d
(3)