Некорректные задачи механики

7 / 9

Некорректные задачи механики
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 2 83
тивных сил и штриховой линией — с учетом этих сил. При стремлении
1 2 ( , ) 0h h → штриховая линия непрерывно вливается в сплошную. При этом
точка пересечения ее с осью абсцисс определяет границу области устойчивости.
Положение этой точки в пределе зависит от характера стремления к нулю дис-
сипативных коэффициентов, и оно может быть в любом месте отрезка 0 (0, ).
cr e
Таким образом, какой бы малой ни была диссипация, она меняет предел устой-
чивости на конечную величину. Это и означает, что постановка задачи об иссле-
довании устойчивости без диссипативных сил некорректна по Адамару. Исче-
зающе малая диссипация может устойчивую систему превратить в неустойчи-
вую. При этом предел величины , h
cr e определяющей границу области устойчи-
вости по совокупности переменных →
1 2 ( , ) 0,h h не существует, поскольку ча-
стичные пределы не совпадают. Так, если = =
1 2 , h ah h bh и → 0, h то → 0 . h
cr cr e e
Если же по одной координате диссипация много больше, чем по другой, напри-
мер, =
1 , h h а = 3
2 , h h то при → 0 h → 0. h
cr e
Из этого примера следует, что анализ причин некорректности по Адамару
постановки задач с отсутствием диссипации позволяет при конструировании
системы вводить искусственно диссипацию так, чтобы максимально прибли-
зить границу неустойчивости к точке 0
cr e (максимально достижимая область
устойчивости). Следует также заметить, что если 0 ( , ), h
cr cr e e e∈ то неустойчивость
носит «мягкий» характер, поскольку вещественная часть корня имеет порядок
h . Если же 0 ,
cr e e> то неустойчивость носит «взрывной» характер, поскольку
вещественная часть корня уже не является малой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гипербо-
лического типа. М.: Наука, 1978. 351с.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967. 436 с.
3. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Парадоксы Пенлеве и динамика тормозной колодки // ПММ.
1995. Т. 59. № 3. С. 366 –375.
4. Глэдвилл Г.М.Л. Обратные задачи теории колебаний. Москва–Ижевск: НИЦ РХД, 2008.
607 с.
5. Медведев Ф.А. Ранняя история аксиомы выбора. М.: Наука, 1982. 305 с.
6. Кориолис Г. Математическая теория явлений биллиардной игры. М.: ЛКИ, 2007. 240 с.
7. Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Динамика неголономных систем. М.: Наука, 1967. 519 с.
8. Журавлёв В.Ф. Динамика тяжелого однородного шара на шероховатой плоскости //
Изв. РАН. МТТ. 2006. № 6. С. 1–5. URL:
9. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Многопараметрические задачи устойчивости. М.: Физ-
матлит, 2009. 399 с.
10. Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1967.
420 с.