5 / 9
Некорректные задачи механики
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 2
81
такта и ее проекция на ось
x
не равна нулю. Пользуясь методами сопротивления
материалов, нетрудно вычислить значение этой проекции:
(
)
=
+δ
2
(
) (2 ).
x
R mg x
EJ
Устремляя к нулю
,
Δ
находим
Δ→
Δ =
2
0
( )
lim ( )
,
2
x
mgx
R
EJ
что в точности совпадает с выражением, полученным методом Лагранжа.
Таким образом, выясняется, что при силовом подходе (метод Ньютона)
предел горизонтальной составляющей реакции щели не совпадает со значением
этой реакции в предельной точке:
0
lim ( )
(0)
x
x
R R
Δ→
Δ ≠
(рис. 4). Решение рассматри-
ваемой задачи силовым методом для нулевого зазора является некорректным по
Адамару. Учет сколь угодно малого зазора приводит к изменению решения на
конечную величину.
Рис. 3.
Модельная схема
Рис. 4.
Зависимость реакции
R
x
от зазора
Δ
Отметим, что вертикальная составляющая реакции при
0
Δ →
стремится к
бесконечности:
( )
.
x
R
Δ → ∞
Два реализованных подхода к решению в методе
Ньютона отражают два взгляда в математике на понятие «бесконечность» —
актуальная бесконечность
(Кантор) и потенциальная бесконечность
(Кроне-
кер) [5]. Актуальной бесконечности соответствует задача в случае
0,
Δ =
а пре-
дел
0
Δ →
реализует понятие потенциальной бесконечности. В методе Лагран-
жа различий в этих подходах не возникает.
Пример 2.
Задача Кориолиса
[6]
(рис. 5). Рассматривается динамика весо-
мого шара на горизонтальной плоскости при наличии сил сухого трения. Век-
тор силы трения в точке
O
подчиняется условиям
τ
≠ 0 =>,
•
если Ω ≠ 0, то
V
0
≠ 0;
•
если Ω = 0, то
V
0
≠ 0 при условии
fN
— |
τ
|
˂
0.
В начальный момент в точке контакта шар проскальзывает со скоростью
0
V
и
имеет угловую скорость верчения
ω
вокруг нормали в точке контакта. Требуется
определить, когда проскальзывание закончится и шар перейдет в режим чистого