2 / 9
В.Ф. Журавлёв
78
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 2
0
.
F fN
≤ ≤
(1)
Требуется найти нормальную реакцию
,
N
которая (по постановке задачи)
отрицательной быть не может.
Приведем решение этой задачи, как оно представлено в многочисленных
источниках, посвященных тормозной колодке.
Уравнение равновесия колодки (уравнение моментов вокруг точки
):
O
′
(
) 0.
Fh N P l
− + − =
(2)
Предположим, что диск вращается в положительном направлении. Тогда
=
F fN
(3)
и, подставляя (3) в (2), находим искомую реакцию
=
−
.
Pl
N
l fh
(4)
Это решение имеет смысл, если
− >
0.
l fh
Если же
− <
0,
l fh
(5)
то реакция отрицательна, что невозможно, поскольку связь между колодкой и
диском односторонняя. Получается, что для каких-то соотношений параметров
задачи реакцию определить нельзя. Это ставит под вопрос применимость зако-
нов механики для этого случая. Именно так и характеризовал ситуацию П. Пен-
леве, когда говорил, что законы сухого трения противоречат законам механики.
Позиция П. Пенлеве была подвергнута критике Феликсом Клейном. Последова-
тели П. Пенлеве неизменно описывают возникшую проблему, как «парадок-
сальную».
Приведенное решение между тем является ошибочным. Ошибка состоит в
том, что прежде, чем предполагать, что вращение диска возможно и использо-
вать выражение (3), следовало установить, когда такое условие справедливо и не
противоречит законам трения.
Приведем правильное решение.
Наряду с (2) рассмотрим и уравнение равновесия диска
0,
M FR
− =
(6)
где
R
— радиус диска. Из уравнений (2) и (6) находим искомую реакцию
.
Mh
N P
Rl
= +
(7)
В отличие от (4) реакция (7) определена при любых значениях параметров.
Рассмотрим «подозрительный» случай (5). Разделим обе части равенства (7) на
F
и запишем: