4 / 9
В.Ф. Журавлёв
80
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 2
sin sh ,
n
A u
ny nx
n
=
которое очень велико вследствие неограниченного роста
sh
nx
каким бы ни
было
n
.
Пример, приведенный Адамаром, выбран им из области краевых задач ма-
тематической физики. Между тем некорректные (в смысле Адамара) постанов-
ки задач нередко встречаются в любой области механики. Далее приводятся три
примера.
Примеры некорректных задач из других обла-
стей. Пример 1.
Рассмотрим тонкую упругую невесо-
мую балку, одним концом вставленную без зазора в го-
ризонтальную щель в стенке (рис. 2). На другом конце
балки имеется груз массой
m
, на который по вертикали
действует сила тяжести. В щели нет трения, и балка
может свободно перемещаться в горизонтальном
направлении (обобщенная координата
).
x
В этой зада-
че требуется узнать, будет ли меняться
x
, если
(0) ,
(0) 0.
x l x
=
=
Проще говоря,
вылезет ли балка из щели с нулевой начальной скоростью?
Будем решать эту задачу двумя методами.
Метод Ньютона
.
Все действующие в этой модели силы имеют нулевую
проекцию на ось
х
. Горизонтальная проекция реакции заделки равна нулю:
0,
x
R
=
поэтому положение равновесия
≡
сonst
x
является безразличным. Ответ: балка
остается неподвижной.
Метод Лагранжа
. Вычислим потенциальную энергию балки, состоящую из
энергии ее деформированного состояния и из потенциальной энергии груза
массы
m
. В сумме получаем
2 3
( )
П
.
6
mg x
EJ
= −
Потенциальная энергия системы есть монотонно убывающая функция
x
,
ни при каком
x
, не равном нулю, равновесие невозможно. Горизонтальная со-
ставляющая реакции
2
П ( ) 0.
2
x
mgx
R
x
EJ
∂ = − =
>
∂
Силовой подход к решению задачи оказался противоречащим энергетиче-
скому подходу. В чем дело?
Разрешение парадокса
. Вернемся к методу Ньютона, однако на этот раз учтем
наличие неизбежного зазора
0
Δ ≠
между стенками щели и балкой (рис. 3). В этом
случае реакция щели в угловой точке направлена по нормали к балке в точке кон-
Рис. 2.
Схема заделки
балки с грузом