3 / 9
Некорректные задачи механики
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 2
79
1 .
N P h P
F F l
F f
= + > +
(8)
При получении неравенства (8) использовано неравенство (5). Выполним
теперь инверсию неравенства (8):
<
< =
+
,
F Ff
Ff
f
N fP F F
(9)
что означает
,
F fN
<
а это есть условие (1) того, что диск неподвижен.
Тормозная колодка (см. рис. 1) при условии
>
l fh
притормаживает враща-
ющийся диск, при условии же (5) этот механизм играет роль клинового стопора
.
Клиновый стопор — механический аналог полупроводника: при
0
ω >
враще-
ние диска невозможно из-за эффекта заклинивания пары диск–колодка, при
0
ω ≤
заклинивания нет, вращение возможно с любой скоростью.
Во всех случаях выражение для нормальной реакции имеет вид (7). Попытки
преодолеть заклинивание увеличением момента
M
могут привести только к по-
ломке механизма при превышении реакцией
N
предела прочности конструкции.
Ничего «парадоксального» в поведении тормозной колодки нет, вопреки
мнению. П. Пенлеве и некоторых его последователей, нет и противоречия меж-
ду законами механики и законами трения.
Пример нарушения корректности из-за невыполнения второго условия в
определении Адамара (нет единственности).
Чаще всего решение бывает неедин-
ственным в так называемых обратных задачах механики. Это такие задачи, когда
искомые и заданные переменные меняются местами. Например, в задачах теории
колебаний прямая задача может состоять в нахождении спектра колебаний при
заданных параметрах колебательной системы. В обратной задаче по заданному
спектру требуется найти такие параметры системы, для которых у нее будет этот
спектр.
Обзор результатов в этой области приведен в [4].
Наибольший интерес представляют задачи, в которых при сколь угодно
малом изменении параметров задачи решение меняется сильно и часто даже
качественно.
Пример некорректной постановки задачи, когда решение не является
непрерывно зависящим от параметров — пример Адамара.
(Этот пример
приведен Адамаром впервые на конгрессе швейцарского математического об-
щества в Цюрихе в 1917 г.). Рассмотрим уравнение
2
2
2
2
0
u u
x y
∂ ∂+ =
∂ ∂
со следующими данными:
(0, ) 0,
(0, )
sin ,
n
u
u y
y A ny
x
∂ =
=
∂
где
n
— очень большое число, а
n
A
— функция, которая очень мала, когда
n
становится очень большим (например,
1/ ).
n
A n
=
Эти данные как угодно близ-
ки к нулю. Однако такая задача Коши имеет решение