2 / 8
Н.Е. Зубов, Е.А. Микрин, В.Н. Рябченко
68
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2017. № 1
1
1
1
0
( )
...
,
,
n r
n r
n r
p
p
p p
(5)
где
— поле комплексных чисел.
Обобщение формулы Аккерманна.
Для решения поставленной задачи
применим известную
формулу Аккерманна
[3], обобщая ее на случай систем
со многими входами и многими выходами по аналогии, как это сделано в рабо-
тах [4, 5]. Предварительно перепишем систему (1), (2) в следующей блок-
матричной форме:
( )
( )
( ).
( )
( )
n m
r n r r
x t
x t
v t
u t
u t
A B
D
0
0 0
(6)
Нетрудно показать, что при полной управляемости пары матриц
( , )
A B
и
обратимости матрицы
D
пара матриц из (6)
,
n r
r n r r
A B
D
0
0 0
(7)
также является управляемой.
Для полной управляемости пары (7) наряду с полной управляемостью пары
матриц
( , )
A B
необходимо и достаточно, чтобы квадратная матрица
r r
D
порядка
r
имела полный ранг (была обратимой)
rank ,
r
D
(8)
и выполнялось условие [1]
1
rank
.
n
n
BD ABD A BD
(9)
Действительно, согласно критерию управляемости Калмана, имеем
1
1
1
rank
rank
rank rank
.
n r
n r
n r
n r
r n r r
r n r r
n
n r
r r
r r
n
r n
A B
A B
D
D
D
BD A BD
D
D BD ABD A BD
0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
(10)
Рассмотрим характеристический полином матрицы
.
r n r r
A B
0 0
(11)
В силу структуры матрицы (11) он равен полиному
( )
det
,
r
n
f
I A
(12)