6 / 8
Пример.
Пусть задана линейная система (1) с матрицами
A
=
0 1 1
0 0 0
1 0 0
, B
=
0
1
0
.
(13)
Вычислим левый делитель нуля матрицы
B
из (13):
B
⊥
L
=
0 0 1
1 0 0
.
Теперь составим уравнение (9), в результате получим
B
⊥
L
A
+
λB
⊥
L
Y
(
λ
) =
1 0 0
0 1 1
+
0 0
λ
λ
0 0
Y
(
λ
) = 0
,
(14)
где матрица
Y
(
λ
)
имеет степень
n
−
2 = 1
, т.е.
Y
(
λ
) =
Y
01
Y
02
Y
03
+
λ
Y
11
Y
12
Y
13
=
Y
01
+
λY
11
Y
02
+
λY
12
Y
03
+
λY
13
.
(15)
Уравнение (15) неразрешимо, поскольку ленточная матрица
B
⊥
L
A
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
0
B
⊥
L
=
1 0 0
0 1 1
0
0 0 1
1 0 0
1 0 0
0 1 1
0
0 0 1
1 0 0
является невырожденной, что, в свою очередь, соответствует условию
полной управляемости линейной системы с матрицами (13).
Отметим, что уравнение (14) оказывается разрешимым, но уже
относительно матрицы
Y
(
λ
)
степени
n
−
1 = 2
:
Y
(
λ
) =
0
1
1
+
λ
1
0
0
+
λ
2
0
−
1
0
=
λ
1
−
λ
2
1
,
что в таком случае является недостаточным.
Заключение.
В статье приведены утверждения, согласно которым
существует взаимно однозначная связь между условиями управляемо-
сти и наблюдаемости линейной системы и условиями разрешимости
линейного полиномиального матричного уравнения Сильвестра отно-
сительно полиномиальной матрицы степени
n
−
2
.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Калман Р.
,
Фалб П.
,
Арбиб М.
Очерки по математической теории систем. М.:
Мир, 1971.
56 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1