3 / 8
или
det
B
⊥
L
A
0
0
∙ ∙ ∙
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
0
∙ ∙ ∙
0
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
∙ ∙ ∙
0
...
...
...
. . .
...
0
0
0
∙ ∙ ∙
B
⊥
L
6
= 0
.
(4)
Здесь
B
⊥
L
∈
R
(
n
−
1)
×
n
— левый делитель нуля вектора
B
, удовлетворяю-
щий однородному уравнению [4]
B
⊥
L
B
= 0
(
n
−
1)
×
1
, имеющий размеры
(
n
−
1)
×
n
и максимальный ранг
n
−
1
.
Основная цель работы — установление эквивалентности условий
управляемости линейной многомерной системы на основе ленточной
матрицы (2) и условий разрешимости линейного полиномиального
матричного уравнения. В силу дуальности свойств управляемости си-
стемы (1) и наблюдаемости системы
σx
(
t
) =
Ax
(
t
)
, y
(
t
) =
Cx
(
t
)
,
(5)
где
y
(
t
)
∈
R
— скалярный выход, конечные результаты по аналогии
распространяются на задачу анализа наблюдаемости.
Управляемость.
Линейным полиномиальным матричным уравне-
нием относительно неизвестной матрицы
Y
(
λ
)
называется уравне-
ние [5]
(
F
0
+
λF
1
)
Y
(
λ
) = 0
,
(6)
где
F
i
∈
R
m
×
n
,
i
= 1
,
2
— заданные матрицы.
Матрица
Y
(
λ
)
представляет собой правое полиномиальное нуль-
пространство линейного пучка матриц
F
0
+
λF
1
или, другими слова-
ми, правый делитель нуля этой матрицы. Если требуется определить
решение матрицы
Y
(
λ
)
в виде
Y
(
λ
) =
Y
0
+
λY
1
+
. . .
+
λ
δ
(
Y
)
Y
δ
(
Y
)
,
(7)
где
δ
(
Y
)
— заданное натуральное число (
заданная степень
), тогда от
уравнения (6) переходят к эквивалентной записи [5, 6]
F
0
0
∙ ∙ ∙
0
F
1
F
0
∙ ∙ ∙
0
0
F
1
. . .
...
...
...
. . .
F
0
0 0
∙ ∙ ∙
F
1
Y
0
Y
1
...
Y
δ
(
Y
)
= 0
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 53