2 / 8
Введение.
Для анализа управляемости линейной многомерной си-
стемы со стационарными параметрами
σx
(
t
) =
Ax
(
t
) +
Bu
(
t
)
,
(1)
где
x
(
t
)
∈
R
n
— вектор состояния;
u
(
t
)
∈
R
— скалярное управле-
ние;
σx
(
t
) = ˙
x
(
t
)
— оператор дифференцирования по времени или
σx
(
t
) =
x
(
t
+ 1)
— оператор сдвига во времени;
R
— множество
вещественных чисел. Используются два критерия (теста): 1) ранго-
вый критерий Калмана; 2) модальный (частотный) критерий Попова –
Белевича – Хотиса.
Согласно критерию Калмана, для управляемости (1) необходимо и
достаточно, чтобы матрица
B AB
∙ ∙ ∙
A
n
−
1
B
∈
R
n
×
n
(2)
была обратима [1], т.е.
rank
B AB
∙ ∙ ∙
A
n
−
1
B
=
n
, или
det
B AB
∙ ∙ ∙
A
n
−
1
B
6
= 0
.
В
модальном
(
частотном
)
критерии Попова – Белевича – Хотиса
,
в котором для управляемости (1) требуется полнота ранга
n
матриц
(сингулярного пучка матриц) [2]
A
−
λ
j
I
n
B
∈
C
n
×
(
n
+1)
, где
λ
j
∈ {
λ
∈
C
: det (
A
−
λI
n
) = 0
}
— элементы спектра (множества
собственных значений матрицы
A
);
C
— множество комплексных чи-
сел (комплексная плоскость).
В работе [3] предложен критерий, когда для управляемости (1) не-
обходимо и достаточно
невырожденности ленточной матрицы упра-
вляемости
размером
n
(
n
−
1)
×
n
(
n
−
1)
:
B
⊥
L
A
0
0
∙ ∙ ∙
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A 0
∙ ∙ ∙
0
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
∙ ∙ ∙
0
...
...
...
. . .
...
0
0
0
∙ ∙ ∙
B
⊥
L
,
(3)
т.е.
rank
B
⊥
L
A
0
0
∙ ∙ ∙
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
0
∙ ∙ ∙
0
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
∙ ∙ ∙
0
...
...
...
. . .
...
0
0
0
∙ ∙ ∙
B
⊥
L
=
n
(
n
−
1)
,
52 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1