4 / 8
Матрицу
S
=
F
0
0
∙ ∙ ∙
0
F
1
F
0
∙ ∙ ∙
0
0
F
1
. . .
...
...
...
. . .
F
0
0 0
∙ ∙ ∙
F
1
(8)
называют
матрицей Сильвестра
.
Справедлива лемма [7].
Лемма.
Для разрешимости линейного полиномиального матрично-
го уравнения
(
6
)
относительно матрицы
Y
(
λ
)
с заданной степе-
нью
δ
(
Y
)
необходимо и достаточно неполноты ранга по столбцам
матрицы Сильвестра
(
8
).
Следовательно, полнота ранга по столбцам матрицы Сильвестра (8)
гарантирует отсутствие решения уравнения (6) относительно матрицы
Y
(
λ
)
(7) с заданным числом
δ
(
Y
)
.
Сравнивая матрицы (3) и (8), нетрудно прийти к выводу, что эти
матрицы имеют совпадающую (эквивалентную) структуру. На осно-
вании этого факта, а также справедливости приведенной леммы сфор-
мулируем теорему.
Теорема 1.
Для неуправляемости многомерной линейной систе-
мы
(1)
необходимо и достаточно разрешимости линейного полиноми-
ального матричного уравнения
B
⊥
L
A
+
λB
⊥
L
Y
(
λ
) = 0
(9)
относительно матрицы
Y
(
λ
) =
Y
0
+
λY
1
+
. . .
+
λ
n
−
2
Y
n
−
2
.
(10)
Обратная теорема
:
для управляемости многомерной линейной систе-
мы
(1)
необходимо и достаточно неразрешимости линейного полино-
миального матричного уравнения
(9)
относительно матрицы
(10).
J
Воспользовавшись сравнением матриц (3) и (8), сопоставим за-
даче (4) линейное полиномиальное уравнение (9). Ясно, что согласно
лемме уравнение (9) будет разрешимо с заданной степенью
n
−
1
, если
и только если
det
B
⊥
L
A 0
0
∙ ∙ ∙
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
0
∙ ∙ ∙
0
0
B
⊥
L
B
⊥
L
A
∙ ∙ ∙
0
...
...
...
. . .
...
0
0
0
∙ ∙ ∙
B
⊥
L
= 0
,
но это соответствует неуправляемости линейной системы (1).
54 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1