5 / 8
Сделаем замечание: поскольку левый делитель нуля
B
⊥
L
матрицы
B
определяется с точностью до некоторой обратимой матрицы
T
раз-
мером
(
n
−
1)
×
(
n
−
1)
[4], то уравнению (9) может быть поставлено в
соответствие множество уравнений вида
T B
⊥
L
A
+
λB
⊥
L
Y
(
λ
) = 0
.
Это, очевидно, никак не влияет в алгебраическом смысле на усло-
вия разрешимости, но может оказать существенное влияние на вычи-
слительные особенности задачи, поскольку в этом случае возникает
возможность определенного влияния на обусловленность изучаемых
матриц.
I
Наблюдаемость.
Одна из модификаций ленточного критерия на-
блюдаемости многомерной линейной системы (5) имеет вид [3]: для
наблюдаемости линейной системы (5) необходимо и достаточно, что-
бы
rank
AC
⊥
R
C
⊥
R
0
∙ ∙ ∙
0
0
AC
⊥
R
C
⊥
R
∙ ∙ ∙
0
0
0
AC
⊥
R
∙ ∙ ∙
0
...
...
...
. . .
...
0
0
0
∙ ∙ ∙
C
⊥
R
=
n
(
n
−
1)
,
или
det
AC
⊥
R
C
⊥
R
0
∙ ∙ ∙
0
0
AC
⊥
R
C
⊥
R
∙ ∙ ∙
0
0
0
AC
⊥
R
∙ ∙ ∙
0
...
...
...
. . .
...
0
0
0
∙ ∙ ∙
C
⊥
R
6
= 0
,
где матрица называется
ленточной матрицей наблюдаемости
и имеет
размер
n
(
n
−
1)
×
n
(
n
−
1)
;
C
⊥
R
— правый делитель нуля матрицы
C
,
удовлетворяющий уравнению
CC
⊥
R
= 0
1
×
(
n
−
1)
и имеющий размер
n
×
×
(
n
−
1)
и максимальный ранг
n
−
1
[4].
В силу дуальности задач управляемости и наблюдаемости [1, 2]
приведем без доказательства еще одну теорему.
Теорема 2.
Для ненаблюдаемости многомерной линейной системы
(5)
необходимо и достаточно разрешимости линейного полиномиаль-
ного матричного уравнения
X
(
λ
)
AC
⊥
R
+
λC
⊥
R
= 0
(11)
относительно матрицы
X
(
λ
) =
X
0
+
λX
1
+
. . .
+
λ
n
−
2
X
n
−
2
.
(12)
Обратная теорема
:
для наблюдаемости многомерной линейной си-
стемы необходимо и достаточно неразрешимости линейного полино-
миального матричного уравнения
(11)
относительно матрицы
(12).
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2016. № 1 55