6 / 14
Z
1
, . . . , Z
s
. Возникает практический вопрос о соотношении модели и
реального процесса.
Использование теории устойчивости в математическом моделиро-
вании связано с тем, что она позволяет увязать “единообразными”
формулами и алгоритмами различные компоненты процесса и за счет
этого более аргументированно указывать “узкие места” модели.
Рассмотрим некоторые результаты, которые приведены в виде те-
орем в работах [1–7, 9, 10], либо являются прямыми следствиями
утверждений, полученных в перечисленных работах.
Утверждение 1.
Если норма возмущающего вектора
k
B
k
не мень-
ше радиуса устойчивости, а ошибка в исходных данных может быть
не меньше
k
B
k
, то решать оптимизационную задачу или задачу вычи-
слительной геометрии бессмысленно, т.е. в реальности оптимальным
может быть любое допустимое решение.
Утверждение 2.
Для любой массовой дискретной оптимизацион-
ной задачи, которая укладывается в предложенную выше постановку
можно показать, что “почти все” индивидуальные задачи имеют един-
ственную оптимальную траекторию, поэтому необходимость рассмо-
трения всего множества
ϕ
(A)
, которая присутствует в формулах и
алгоритмах для радиуса устойчивости, не является большим препят-
ствием с алгоритмической точки зрения. Для некоторых задач в явном
виде получены оценки вероятности единственности решения [11].
Утверждение 3.
Теоретически пространство задач может быть
покрыто шарами устойчивости. Однако мощность такого покрытия
(двойная экспонента размерности задачи) делает его практически
непригодным. В то же время определенный практический интерес
представляет гибридный алгоритм, когда наряду с решением задачи
находится и ее радиус устойчивости. Это позволяет автоматически по-
лучать решения континуума задач из шара устойчивости исходной за-
дачи. Как показали численные эксперименты с задачей коммивояжера,
для “реальных” матриц это работает, а для случайных малоинтересно,
что понятно в свете следующего утверждения.
Утверждение 4.
Если анализировать ситуацию со значением ра-
диуса устойчивости с вероятностной точки зрения, то радиус устой-
чивости “почти всегда” положителен, т.е. задача устойчива. Однако
значение его, по-видимому, почти всегда мало в сравнении с мини-
мальным значением веса параметра задачи.
Утверждение 5.
В случае полиномиальной зависимости от пара-
метра задача является конечнозначной. Однако никакие ограничения
на гладкость функций
a
(
t
)
не гарантируют конечнозначности. Конеч-
нозначность зависит не только от свойств самих функций
a
(
t
)
, но и от
комбинаторики задачи, т.е. структуры множества
D
m
=
{
t
1
, . . . , t
q
}
.
66 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5