2 / 14
“bottlenecks” of the model. While analyzing properties of the geometric
configurations, the proposed approach allows identifying the “critical” situations.
By virtue of parameterization, the input data can be presented as time functions. This
allows considering the models of some processes under certain conditions as well as
drawing heuristic conclusions about the compatibility of the model with the simulated
process. The article describes a general scheme of analyzing the stability analysis
problem. It shows the application of this scheme and gives examples illustrating its
application.
Keywords
:
discrete optimization problems, theory of stability, radius of stability,
mathematical modelling, computational geometry, parametric programming.
Введение.
Предложенная схема исследования устойчивости про-
ста и естественна. Имеется задача
Z
, входные параметры которой
e
1
, . . . , e
m
характеризуются наборами чисел. Под решением задачи по-
нимается поиск некоторого объекта
τ
(или совокупности объектов)
из конечного или бесконечного множества. Этот объект — решение
задачи. Если множество чисел, которыми характеризуются входные
параметры задачи
Z
, могут представлять точками метрического про-
странства, то на множестве задач может быть введена некоторая функ-
ция близости
r
ij
=
r
(
Z
i
, Z
j
)
. При определенных ограничениях на тип
пространства и свойства нормы может оказаться, что объект, являю-
щийся решением конкретной задачи, сохраняется в качестве решения
и для всех задач из некоторой ее ненулевой окрестности в метри-
ческом пространстве. Подобное сохранение может интерпретировать-
ся как устойчивость решения, а несуществование такой ненулевой
окрестности может интерпретироваться как его неустойчивость. Ко-
личественную характеристику рассматриваемой окрестности можно
назвать “радиусом устойчивости”.
Исследование устойчивости решений задач обычно преследует
следующие цели.
1.
Получение формул для радиуса устойчивости.
Содержательные
результаты находятся как для конкретных задач, так и для классов
задач, которые характеризуются общими требованиями к свойствам
решений. Рассматривались оптимизационные задачи с различного ви-
да функционалами (задачи на максимум или минимум, задачи на “уз-
кие места”, а также нетипичные “вырожденные случаи”), и задачи не
являющиеся оптимизационными. Тип возмущений исходных данных
задается через вид нормы (метрики) в пространстве. Естественную
практическую интерпретацию имеет чебышевская метрика (возмуще-
ния параметров независимы друг от друга), а также метрика
l
1
. Однако
с позиции теории исследовались широкие классы метрик.
2.
Построение алгоритмов вычисления радиуса устойчивости.
Практический интерес представляет не сама формула для радиуса
устойчивости, а способ и трудоемкость ее вычисления. При этом
напрашивается вопрос о сравнении трудоемкости алгоритма реше-
ния самой задачи и определения радиуса ее устойчивости. Такие
62 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5