11 / 14
Определение 3.
Радиусом устойчивости ДВ конфигурации
Р
на-
зывается точная нижняя грань расстояний в конфигурационном про-
странстве от конфигурации
Р
до неустойчивых конфигураций. Таким
образом, радиус устойчивости неустойчивой диаграммы равен нулю.
Исчерпывающее исследование устойчивости проведено в рабо-
те [7]. Для наглядности ограничимся случаем обычной евклидовой
плоскости. Аналогичное рассмотрение легко провести для любой фик-
сированной нормы метрики
l
q
,
q
= 1
,
2
, . . . ,
∞
. Координаты терми-
нальной точки
p
i
обозначим через
(
х
i
,
у
i
)
. Оценим возмущения в аб-
солютной (чебыш¨eвской) норме, т.е. расстояния в конфигурационном
пространстве измеряются в норме
l
∞
.
Пусть
n >
2
. Обозначим расстояние в абсолютной норме от точки
а
до множества
М
плоскости через
ρ
(
а
,
М
)
. Введем три параметра.
Рассмотрим тройку точек
t
=
{
a
1
, a
2
, a
3
}
и множество прямых
L
на плоскости. Обозначим
inf
l
∈
L
max
i
=1
,
2
,
3
ρ
(
a
i
, l
)
через
δ
(
t
)
,
min
δ
(
t
i
)
— через
δ
(
P
)
, где минимум берется по всем тройкам
t
i
терминалов таким, что
в ДВ есть вершина, равноудаленная от них.
Рассмотрим теперь неограниченную область Дирихле
D
k
. Сре-
ди ребер ее границы имеются ровно два неограниченных. Если они
параллельны, то полагаем
β
(
D
k
) = 0
. В противном случае эти ре-
бра лежат на границах области
D
k
с областями
D
u
и
D
v
, и при-
мем
β
(
D
k
) =
δ
(
t
(
k, u, v
))
, где
t
(
k, u, v
)
— конфигурация из трех то-
чек
{
p
k
, p
u
, p
v
}
. Обозначим минимум
β
(
D
k
)
по всем неограниченным
областям ДВ через
β
(
P
)
.
Сопоставим теперь ДВ помеченный граф
G
(
V,
Е
)
. Вершинами гра-
фа являются вершины диаграммы и точки
а
ребра, соответствующие
либо конечным ребрам диаграммы, либо бесконечным ребрам, поме-
ченным номерами областей Дирихле, которые они разделяют. Назовем
флип-ребрами такие конечные ребра ДВ, что в графе
G
инцидентные
им вершины имеют степень 3. Каждой такой вершине соответству-
ет тройка терминалов, а флип-ребру — некая четверка терминалов,
являющаяся объединением двух соответствующих троек.
Рассмотрим четверку точек
s
=
{
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
}
и множество окруж-
ностей
F
на плоскости. Обозначим
inf
f
∈
F
max
i
=1
,
2
,
3
,
4
ρ
(
a
i
, f
)
через
π
(
s
)
,
min
π
(
s
i
)
— через
π
(
P
)
, где минимум берется по всем четверкам
терминалов, соответствующим флип-ребрам. Если множество флип-
ребер пусто, то полагаем
π
(
P
) =
∞
. Кроме того, обозначим через
J
(
P
)
множество бесконечных областей Дирихле, имеющих гранич-
ные параллельные бесконечные ребра.
Следующие две теоремы полностью описывают ситуацию иссле-
дования устойчивости в рассматриваемом случае.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 5 71