8 / 11
Возмущение собственного значения определяется выражением,
аналогичным выражению (12)
Δ
λ
=
2
π
Z
0
(v
т
0
ΔAy
0
−
λ
0
v
т
0
ΔBy
0
)
dϕ
2
π
Z
0
v
т
0
B
0
y
0
dϕ
.
(21)
Невозмущенное решение
λ
0
,
y
0
было найдено путем подстановки
вектора
y
0
=
{
u
(1)
k
cos
kϕ, v
(1)
k
sin
kϕ, w
(1)
k
cos
kϕ, ϑ
2(1)
k
sin
kϕ, S
(1)
k
sin
kϕ,
T
2(1)
k
cos
kϕ, Q
∗
2(1)
k
sin
kϕ, M
2(1)
k
cos
kϕ
}
т
в систему (17), в результате чего вместо системы дифференциальных
уравнений получили задачу на собственные значения для системы ли-
нейных алгебраических уравнений. Несовершенство (радиальное воз-
мущение) задавалось в виде
ξ
(
ϕ
) =
ξ
2
k
cos 2
kϕ
, поскольку, как было
показано в работе [10] и других работах, посвященных ВТГ, именно
для гармоники несовершенства с номером 2
k
расщепление частоты в
первом приближении отлично от нуля. Результаты расчетов для вол-
нового числа
k
= 2
представлены на рис. 2.
Модуль упругости
E
= 7
,
36
∙
10
4
МПа,
μ
= 0
,
17
,
ρ
= 2210
кг/м
3
(материал — плавленый кварц). Максимальное значение отклонения
радиуса от номинального значения — 0,01 мм.
Согласно зависимостям, приведенным на рис. 2,
а
,
в
,
д
, при варьи-
ровании геометрических параметров цилиндрического резонатора от-
носительное расщепление частоты изменяется очень незначительно.
При этом абсолютное значение расщепления (рад/с) может менять-
ся в широких пределах (см. рис. 2,
б
,
г, д
). Объясняется это тем, что
при изменении геометрических параметров расщепление частоты, вы-
званное фиксированным радиальным возмущением формы оболочки,
меняется примерно в той же степени, что и частота собственных ко-
лебаний оболочки с невозмущенной геометрией. В дальнейшем это
наблюдение может упростить исследования в затронутой области.
Заключение.
1. На основе метода возмущений и одномерных
дифференциальных уравнений для цилиндрической оболочки с гра-
ничными условиями Навье построен алгоритм расчета расщепления
собственной частоты цилиндрического резонатора ВТГ.
2. Анализ влияния различных геометрических параметров на зна-
чение расщепления показал, что относительное значение расщепления
очень мало от них зависит. Абсолютное значение расщепления от этих
же параметров может зависеть весьма заметно.
46 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3