3 / 11
При этом необходимо иметь в виду, что указанные отклонения,
сохраняющие осевую симметрию резонатора, вызывают лишь сдвиг
спектра его частот и могут быть компенсированы сравнительно про-
стыми средствами. Неидеальности параметров геометрии и/или мате-
риала резонатора, приводящие к нарушению осевой симметрии, вле-
кут за собой неприемлемое снижение метрологических характеристик,
называемое метрологическим отказом. Это связано с тем, что при ма-
лых возмущениях осевой симметрии возникает эффект расщепления
собственных частот и форм колебаний резонатора. Эффект выражает-
ся в том, что вместо одной частоты в спектре неидеального резонатора
возникают две близкие частоты и возбуждаются две близкие собствен-
ные формы, что и приводит к метрологическому отказу системы.
В настоящей работе рассмотрены алгоритм и некоторые резуль-
таты расчета расщепления частот цилиндрического резонатора ВТГ,
вызванного наиболее важным на практике дефектом — малыми откло-
нениями геометрии оси резонатора от осевой симметрии.
Учитывая малость несовершенств, а также тот факт, что на прак-
тике колебания резонатора ВТГ являются малыми, воспользуемся ап-
паратом теории возмущений линейных операторов [5].
В общем случае для самосопряженных линейных операторов
T
,
G
задача на собственные значения имеет вид [5]
Tu =
λ
Gu
,
(1)
где
T
,
G
— линейные самосопряженные операторы;
u
— собственный
вектор;
λ
— соответствующее собственное значение частоты.
Для возмущения
λ
(1)
собственного значения
λ
, вызванного малыми
возмущениями операторов
T
,
G
, имеет место выражение [5]
λ
(1)
=
T
(1)
−
λ
G
(1)
u
,
u
(Gu
,
u)
,
(2)
где верхним индексом “(1)” обозначены возмущения.
В случае несамосопряженных операторов выражение для возму-
щения
λ
(1)
имеет вид [6]
λ
(1)
=
T
(1)
−
λ
G
(1)
u
,
v
(Gu
,
v)
,
(3)
где
v
— вектор сопряженного решения.
В одномерных задачах механики система уравнений для определе-
ния собственных векторов (форм свободных колебаний) может быть
записана в виде
d
y
dx
= Ay
−
λ
By
,
(4)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3 41