4 / 11
где
λ
=
p
2
— квадрат собственной круговой частоты системы;
y
—
собственный вектор системы (вектор амплитуд обобщенных переме-
щений и обобщенных внутренних сил в произвольном сечении систе-
мы);
A
,
B
— квадратные матрицы.
Для определения сопряженного решения необходимо рассмотреть
сопряженную систему. Представляя (4) в виде
d
y
dx
= Fy
,
F = A
−
λ
B
,
(5)
получаем сопряженную систему [6]
d
v
dx
=
−
F
т
v
.
(6)
Системы (5) и (6) можно представить в блочном виде [7]
d
dx
y
[1]
y
[2]
=
"
F
[11]
F
[12]
F
[21]
F
[22]
#
y
[1]
y
[2]
,
(7)
где скалярное произведение векторов
y
т
[1]
y
[2]
пропорционально работе,
d
dx
v
[1]
v
[2]
=
−
"
F
т
[11]
F
т
[12]
F
т
[21]
F
т
[22]
#
v
[1]
v
[2]
.
(8)
Блоки матрицы
F
обладают следующими свойствами [7]:
F
т
[11]
=
−
F
[22]
,
F
т
[12]
= F
[12]
,
F
т
[21]
= F
[21]
.
В силу этого систему (8) можно переписать в виде
d
dx
v
[1]
−
v
[2]
=
"
F
[22]
F
[12]
F
[21]
F
[11]
#
v
[1]
−
v
[2]
.
(9)
Сопоставляя (7) и (9), получаем решение сопряженной системы (9)
v
[1]
v
[2]
=
−
y
[2]
y
[1]
.
(10)
Например, для балки векторы решений исходной и сопряженной си-
стем имеют вид
y
=
v, ϑ, Q, M
т
;
v =
−
Q,
−
M, v, ϑ
т
,
(11)
где
v
— перемещение;
ϑ
— угол поворота;
Q
— поперечная сила;
M
—
изгибающий момент в произвольном сечении.
Обозначая через
ΔA
и
ΔB
возмущения матриц
A
и
B
, получаем
из (3) выражение для возмущения
Δ
λ
собственного значения
λ
:
42 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3