6 / 11
Рис. 1.
Некруговой ци-
линдр с закреплениями
Навье:
штриховой линией показана
невозмущенная геометрия, а
сплошной — возмущенная
полусферической оболочки может быть про-
анализирован только на основе диффе-
ренциальных уравнений в частных произ-
водных (двумерные уравнения). Алгоритм
расчета расщепления частоты оболочечно-
го резонатора целесообразно разрабатывать
так, чтобы он был применим для оболочки
вращения с произвольной формой мериди-
ана. Тестирование такого алгоритма, кото-
рый в общем случае требует использования
уравнений в частных производных, удобно
проводить на оболочке, допускающей ис-
пользование одномерных дифференциаль-
ных уравнений. Одной из целей статьи явля-
ется подготовка такого теста.
Из всех неосесимметричных оболочек
только для цилиндрической оболочки некру-
говой формы с граничными условиями Навье (рис. 1) можно исследо-
вать расщепление частот с помощью обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, т.е. приведенный ранее алгоритм. Одномерный харак-
тер задачи позволяет получать результат с любой заданной точностью
при минимальных затратах, что и придает некруговому цилиндру с
граничными условиями Навье большую ценность при тестировании.
Условия Навье допускают решение в виде одной гармоники
u
(
s, ϕ
) =
u
(1)
(
ϕ
) cos
πs
l
;
v
(
s, ϕ
) =
v
(1)
(
ϕ
) sin
πs
l
;
w
(
s, ϕ
) =
w
(1)
(
ϕ
) sin
πs
l
,
(16)
где
u
(
s, ϕ
)
, v
(
s, ϕ
)
, w
(
s, ϕ
)
— проекции перемещения на орты есте-
ственного трехгранника [7].
Используя известную систему обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений 8-го порядка [7] для определения коэффициентов
w
(1)
, v
(1)
, u
(1)
и заменяя в ней внешние нагрузки
q
1
, q
2
, q
3
динамически-
ми нагрузками
q
1
(1)
=
−
u
(1)
p
2
ρh
,
q
2
(1)
=
−
v
(1)
p
2
ρh
,
q
3
(1)
=
−
w
(1)
p
2
ρh
,
получаем систему для расчета частот и форм колебаний неидеальной
цилиндрической оболочки с граничными условиями Навье.
Система уравнений имеет стандартный вид (5)
dy
dϕ
= (A
−
λ
B) y
,
(17)
где
y =
n
u
(1)
, v
(1)
, w
(1)
, ϑ
2(1)
, S
(1)
, T
2(1)
, Q
∗
2(1)
, M
2(1)
o
т
;
S
— сдвигающая
44 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3