3 / 11
отмечено ранее, все состояния доступны для наблюдения и, следо-
вательно, для использования в обратной связи, ковариация состояния
замкнутой регулятором
K
системы, обозначаемая как симметрическая
положительно определенная матрица
X >
0
, удовлетворяет следую-
щему уравнению Ляпунова:
(
A
+
BK
)
X
+
X
(
A
+
BK
)
т
+
BB
т
= 0
.
(2)
В соответствии с функционалом Летова – Калмана
J
=
1
2
∞
Z
0
(x
т
Q
x + u
т
R
u)
dt,
где
Q
и
R
— матрицы, и введением декомпозиции аналогично тому,
как это выполнено в работах [5–10], можно сформулировать алгоритм
задания ковариационной матрицы
X >
0
и построения ковариацион-
ного регулятора. Рассмотрим его по шагам.
Первый шаг
. 1.1. Для
L
= ceil (
n/r
)
−
1
>
0
выполняется деком-
позиция системы (1) вида:
нулевой
(
исходный
)
уровень
A
0
=
A, B
0
=
B, Q
0
=
Q
;
первый уровень
A
1
=
B
⊥
0
A
0
B
⊥
т
0
, B
1
=
B
⊥
0
A
0
U
0
,
∗
, Q
1
=
=
B
⊥
0
Q
0
B
⊥
т
0
;
k-й
(
промежуточный
)
уровень
A
k
=
B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
B
⊥
т
k
−
1
, B
k
=
B
⊥
k
−
1
A
k
−
1
U
k
−
1
,
∗
, Q
k
=
B
⊥
k
−
1
Q
k
−
1
B
⊥
т
k
;
L-й
(
конечный
)
уровень
A
L
=
B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
B
⊥
т
L
−
1
, B
L
=
B
⊥
L
−
1
A
L
−
1
U
L
−
1
,
∗
,
Q
L
=
B
⊥
L
−
1
Q
L
−
1
B
⊥
т
L
−
1
.
(3)
Кроме выполнения декомпозиции системы для каждого уров-
ня помимо
L
-го уровня необходимо выполнить SVD-разложение
матриц
B
i
(с соответствующим нижним индексом) по формуле
B
=
U
Σ
V
т
=
U
∗
U
⊥
Σ
0
V
т
, при этом справедливы соот-
ношения
B
⊥
=
U
т
⊥
,
B
+
=
V
Σ
−
1
U
т
∗
. Здесь
U
⊥
— матрица размером
n
×
(
n
−
r
)
, транспонирование которой дает левый полуортогональный
делитель нуля матрицы
B
;
U
∗
— матрица размером
n
×
r
, участвующая
в вычислении псевдообратной матрицы Мура – Пенроуза.
Следует отметить, что в общем случае для полностью управляемой
системы (1) матрица
B
L
из (3) будет иметь полный ранг по строкам
либо невырожденной, либо ненулевым скаляром. При этом матрица
B
⊥
L
= 0
. В противном случае (неполной управляемости)
B
L
= 0
.
1.2. Назначается матрица
X
L
как произвольная положительно-
определенная матрица.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2015. № 3 5