Рис. 4. Вероятности срыва слежения (кривые
1, 2, 3, 4
для
r
= 1
, 2, 3, 4 соответ-
ственно; кривые
5
рассчитаны по приближенной формуле)
где
γ
с
(
x
) = Ω
T
c
— нормированное значение среднего времени
T
c
до
срыва синхронизации,
Ω
— полоса синхронизации.
Решения этого уравнения могут быть найдены в виде [13]
γ
c
=
2
π
2
r
|
I
iυ
(
r
)
|
2
chπυ
=
2
π
β
th
πυR
Σ
.
(10)
Более общим, чем уравнение (8), является уравнение Понтрягина
относительно моментов времени до срыва слежения
T
n
=
E
(
T
n
)
:
d
2
γ
n
(
x
)
dx
2
−
rh
(
x
)
dγ
n
(
x
)
dx
+
nrγ
n
(
x
) = 0;
(11)
γ
n
(
x
−
) =
γ
n
(
x
+
) = 0;
γ
0
= 1
,
где
x
−
и
x
+
— границы координаты
x
=
x
(
t
)
при начальном условии
x
(
t
0
) =
x
0
, выход за которые сопровождается срывом слежения.
Для численного определения величины
γ
n
можно непосредственно
решать краевую задачу для уравнения Понтрягина (10) при
z
=
dγ
n
/dx
.
Разбивая отрезок [
x
−
, x
+
] на
N
интервалов длиной
Δ = (
x
+
−
x
−
)
/N
точками
x
i
=
x
−
+ (
i
−
1)Δ
,
i
= 1
, . . . , N
+ 1
, полагая
γ
i
n
=
γ
n
(
x
i
)
и
заменяя производные конечными разностями, получаем
(
γ
i
+1
n
−
γ
i
n
+
γ
i
−
1
n
)
Δ
2
−
A
i
(
γ
i
+1
n
−
γ
i
−
1
n
)
2Δ
+
F
i
= 0
,
γ
1
n
=
γ
N
−
1
n
= 0;
i
= 2
,
3
, . . . ,
2
N.
(12)
Данное разностное уравнение аппроксимирует уравнение Понтря-
гина с точностью
О
(Δ
2
)
при
A
i
= sin
x
i
+
β
;
F
i
=
nrγ
i
n
−
1
.
Разностное уравнение с граничными условиями
γ
1
n
=
γ
N
−
1
n
реша-
ется методом прогонки.
На рис. 5 приведен график среднего времени
γ
c
(
x
)
до срыва сле-
жения при
r
= 1
,
r
= 2
,
r
= 4
на интервале от
−
π
до
π
.
108 ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 4
