Позднее на основе формулы (2) Б.И. Шахтариным была получена
формула для
W
(
x
)
в виде функционального ряда [14, 15]
W
(
x
) =
=
1
2
πR
Σ
e
r
cos
x
"
I
0
(
r
) +2
υ
∞
X
n
=1
(
−
1)
n
I
2
n
(
r
)
n
2
+
υ
2
(
υ
cos
nx
−
n
sin
nx
)
#
,
(3)
где
R
Σ
=
I
2
0
(
r
) + 2
υ
2
∞
X
n
=1
(
−
1)
n
I
2
n
(
r
)
n
2
+
υ
2
;
(4)
I
n
(
r
)
— модифицированная функция Бесселя
n
-го порядка. Отсюда
при
υ
= 0
(
β
= 0
) запишем формулу Тихонова:
W
(
x
) = [2
πI
0
(
r
)]
−
1
e
r
cos
x
.
Из сравнения формул (2) и (3) следует очевидное преимущество
(3), тем более что ряд (3), как будет показано далее, быстро сходится.
Оценим сходимость ряда (3). Введем остаточные суммы
P
1
N
(
x
) =
∞
X
n
=
N
+1
(
−
1)
n
I
n
(
r
) cos
nx
n
2
+
υ
2
и
P
2
N
(
x
) =
∞
X
n
=
N
+1
(
−
1)
n
I
n
(
r
)
n
sin
nx
n
2
+
υ
2
рядов
P
1
(
x
) =
∞
X
n
=1
(
−
1)
n
I
n
(
r
) cos
nx
n
2
+
υ
2
и
P
2
(
x
) =
∞
X
n
=1
(
−
1)
n
I
n
(
r
)
n
sin
nx
n
2
+
υ
2
,
где
N
— число членов ряда, обеспечивающих заданную точность со-
гласно неравенству
P
iN
≤
ε
,
i
= 1
,
2
.
Воспользуемся неравенством Коши [16]
I
n
(
r
)
≤
r
2
n
1
n
!
e
|
r
|
2
4(
n
+1)
.
Учитывая монотонное убывание функции
I
n
(
r
)
при
n
→ ∞
, полу-
чаем при
n > N
+1 неравенство
|
P
1
N
| ≤
1
υ
r
2
N
+1
e
r
2
4(
N
+2)
1
(
N
+ 1)!
π
2
−
arctg
N
υ
.
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 4 103
