В последнем случае вероятность выхода за границу интервала
(
−
π, π
)
(вероятность срыва) определяется выражением
P
(
x
0
, t
) = 1
−
π
Z
−
π
˜
P
(
x, t
|
x
0
)
dx.
Для численного решения задачи (6) можно использовать неявную
разностную схему
∂
˜
P
∂t
=
˜
P
τ
+Δ
τ
i
−
˜
P
τ
i
Δ
τ
;
∂
˜
P
∂x
=
˜
P
τ
+Δ
τ
i
+1
−
˜
P
τ
+Δ
τ
i
−
1
2Δ
x
;
∂
2
˜
P
∂x
2
=
˜
P
τ
+Δ
τ
i
+1
−
2 ˜
P
τ
+Δ
τ
i
+ ˜
P
τ
+Δ
τ
i
−
1
Δ
x
2
.
Эта схема приводит к системе линейных алгебраических урав-
нений:
−
D
i
=
A
i
˜
P
τ
+Δ
τ
i
−
1
−
B
i
˜
P
τ
+Δ
τ
i
+
C
i
˜
P
τ
+Δ
τ
i
+1
, i
= 1
, N
+ 1;
(7)
˜
P
τ
+Δ
τ
0
= ˜
P
τ
+Δ
τ
N
= 0;
A
i
=
1
r
Δ
x
2
−
h
i
2Δ
x
;
B
i
=
2
r
Δ
x
2
+
1
Δ
τ
−
h
0
i
;
C
i
=
1
r
Δ
x
2
+
h
i
2Δ
x
;
D
i
= ˜
P
τ
i
/
Δ
τ
;
h
i
= sin
x
i
−
β
;
h
0
i
= cos
x
i
;
x
i
=
−
π
+ (
i
−
1) Δ
x
;
˜
P
τ
i
= ˜
P
(
x
i
, t
|
x
0
)
,
Δ
x
= 2
π/N
.
Начальное условие аппроксимируется следующим образом:
˜
P
τ
i
=
(
0
при
i
6
=
N
x
0
, i
= 0
, N
;
1
/
Δ
x
при
i
=
N
x
0
,
где
N
x
0
— номер ближайшего к
x
0
узла
x
i
. Система линейных алгебра-
ических уравнений решается методом прогонки.
На рис. 4 представлены зависимости для
P
(
τ
) =
P
(
x
0
, τ
)
, опреде-
ленные по (7) для значений
x
0
= 0
;
r
= 1
,
2
,
3
,
4
, а также результаты
расчетов по приближенной формуле
P
(
τ
) = 1
−
exp[
−
τ/γ
c
]
,
(8)
где
γ
c
определяется решением второго уравнения Понтрягина.
Анализ начальных моментов времени до срыва слежения.
Среднее время до срыва слежения определяем, решая второе уравне-
ние Понтрягина
∂
2
γ
с
(
x
)
∂x
2
−
rh
1
(
x
)
∂γ
с
(
x
)
∂x
+
r
= 0
γ
c
(
−
π
) =
γ
c
(
π
) = 0
,
(9)
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 4 107
