где
R
п
b
(
p
)
— значение ПКФ последовательности
{
b
i
}
,
i
= 0
,
1
,
2
, . . .
. . . , L
2
−
1
, при сдвиге, равном
p
; при записи формул (10) и (11) — ра-
венство
R
a
bq
(
p
) =
−
R
a
qb
(
L
2
−
p
)
,
которое справедливо при выполнении
условия (8).
Из формулы (4) следует, что значения нормированной ПКФ со-
ставной последовательности
{
c
j
}
,
j
= 0
,
1
,
2
, . . . , L
1
L
2
−
1
, не будут
превышать значений нормированной ПКФ последовательности
{
a
i
}
,
i
= 0
,
1
,
2
, . . . , L
1
−
1
, для всех сдвигов
L
2
< m
≤
L
2
(
L
1
−
1)
. Соглас-
но формуле (5), ПВКФ составных последовательностей
{
c
j
}
и
{
d
j
}
,
j
= 0
,
1
,
2
, . . . , L
1
L
2
−
1
, принимают нулевые значения при сдвигах
L
2
≤
m
≤
L
2
(
L
1
−
1)
и
m
= 0
, а из формулы (6) нетрудно установить,
что значения нормированной функции
R
м
cd
(
m
)
для
L
2
≤
m
≤
L
2
L
1
−
1
приблизительно такие же, как и у нормированной функции
R
м
a
(
m
)
.
Укажем на способ выбора последовательностей Уолша с ПВКФ, то-
ждественно равными нулю при любых сдвигах. Существует несколько
определений функций Уолша, позволяющих строить различные моди-
фикации этой системы, которые отличаются интервалом определения
и порядком следования функций. Сначала приведем определение си-
стемы, практически совпадающего с определением системы, введен-
ным Дж. Уолшем [10], в которой упорядочение функций проводится
по числу пересечений ими нулевого уровня. Система обычно обозна-
чается как
{
wal
i
(
θ
)
}
,
i
= 0
,
1
,
2
, . . .
, где
0
≤
θ
=
t/T <
1
(
T
— период
функций):
wal
0
(
θ
) = 1;
wal
i
(
θ
) =
n
Y
j
=1
[
r
j
(
θ
)]
i
3
j
, i
= 1
,
2
, . . . ,
2
n
−
1
,
где
r
j
(
θ
) =
sign
[sin(2
jπθ
)]
— функция Радемахера
j
-го порядка,
sign
(
x
) =
1
, x >
0;
−
1
, x <
0
,
i
г
j
=
i
j
−
1
+
i
j
(суммирование осуществляется по модулю 2) — значение
j
-го разряда в записи числа
i
в коде Грея;
i
j
— значение
j
-го разряда в
двоичном представлении числа
i
.
Другая система функций Уолша, упорядоченная по числу пересе-
чений нулевого уровня, – система функций
{
wal
0
(
θ
)
,
cal
j
(
θ
)
,
sal
j
(
θ
)
}
,
j
= 1
,
2
, . . .
Здесь буквосочетания wal и sal связаны с фамилией
Уолша (Walsh), а первые буквы в обозначениях cal
j
(
θ
)
и sal
j
(
θ
)
ука-
зывают на аналогию в смысле четности и нечетности этих функций
с функциями
cos
θ
и
sin
θ
. Функции cal
j
(
θ
)
,
j
= 1
,
2
, . . .
, являются
четными, а функции sal
j
(
θ
)
,
j
= 1
,
2
, . . .
, — нечетными относительно
точки
θ
= 1
/
2
. Параметр
j
равен половине числа пересечений нуле-
вого уровня соответствующими функциями на интервале единичной
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 5 93
