rank
C
CA
...
CA
n
−
m
=
n,
тогда можно построить наблюдатель, позволяющий по векторам входа
u
и выхода
y
оценивать вектор состояния
x
объекта. Если наблюда-
тель формирует оценку всего вектора
x
, то утверждают о наблюдателе
полного ранга, если оценивается только некоторая часть этого вектора,
то наблюдатель называют редуцированным.
Наблюдатель полного ранга определяется по уравнению
D
ˆx = (
A
−
LC
) ˆx +
L
y +
B
u
.
Здесь
ˆx
2
R
n
— состояние наблюдателя, представляющее собой иско-
мую оценку;
L
— матрица обратной связи наблюдателя.
Для решения задачи синтеза наблюдателя (определения матрицы
L
) можно применять любой метод модального управления. Так же, как
и в работе [5], воспользуемся методом, приведенным в работах [2, 6].
Введем многоуровневую декомпозицию системы (1), представляемую
парой матриц
(
A, C
)
:
нулевой (исходный) уровень
A
0
=
A
т
, B
0
=
C
т
;
(2)
k
-й уровень
k
= 1
, J
,
J
= ceil
n
m
−
1
A
k
=
B
?
k
−
1
A
k
−
1
B
?−
k
−
1
, B
k
=
B
?
k
−
1
A
k
−
1
B
k
−
1
.
Здесь
B
?
i
— аннулятор (делитель нуля) матрицы
B
i
,
B
?
i
B
i
= 0
;
B
?−
i
—
2-полуобратная матрица для
B
i
, т.е. матрица, удовлетворяющая усло-
виям регулярности
B
?
i
B
?−
i
B
?
i
=
B
?
i
, B
?−
i
B
?
i
B
?−
i
=
B
?−
i
.
В соответствии с работой [5] искомая матрица
L
=
L
0
2
R
m
×
n
вычисляется по рекурсивным формулам
L
J
=
B
+
J
A
J
−
Φ
J
B
+
J
;
L
k
=
B
−
k
A
k
−
Φ
k
B
−
k
;
B
−
k
=
L
k
+1
B
?
k
+
B
+
k
, k
= 0
, J
−
1
,
и обеспечивает точное заданное размещение полюсов. Это действи-
тельно так, поскольку все элементы множества собственных значений
eig (
A
−
LC
)
совпадают с собственным значением заданных устойчи-
вых матриц
Φ
i
размером
m
×
m
,
i
= 0
, J
. Здесь
B
+
0
, . . . , B
+
J
— псев-
дообратные матрицы Мура – Пенроуза. Таким образом, для синтеза
рассматриваемого здесь наблюдателя полного порядка необходимо:
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2014. № 5 5
