HC[
n
+ 1] = AH
∙
HCM[
n
] + BH
a
;
HCM[
n
] = mod(HC[
n
]
, m
);
CHC[
n
] = HCM[
n
]
<
HCM[
n
−
1]
,
(12)
где
HC = [
НС
1
,
НС
2
,
НС
3
. . .
НС
dsm
_
order
]
— вектор-столбец состоя-
ний НС;
AH
— нижняя треугольная матрица, полученная от массива
dsm
_
order
×
dsm
_
order,
элементами которого являются единицы, на-
пример для
dsm
_
order
= 4
,
AH =
1 0 0 0
1 1 0 0
1 1 1 0
1 1 1 1
,
HCM = [
НСМ
1
,
НСМ
2
,
НСМ
3
. . .
НСМ
dsm
_
order
]
— вектор-столбец состояний НС с учетом осуществления операции
mod(
x, m
)
,
BH
— единичный вектор столбец dsm_order-го порядка,
CHC = [
СНС
1
,
СНС
2
,
СНС
3
. . .
СНС
dsm
_
order
]
— вектор-столбец состо-
яний на выходах переполнений НС. Обозначив
z
−
1
оператор задержки
на один такт, найдем выражение для
Δ
N
n
как
Δ
N
n
=
CHC
1
[
n
] +
CHC
2
[
n
](1
−
z
−
1
) +
CHC
3
[
n
](1
−
z
−
1
)
2
+
+
CHC
dsm
_
order
[
n
](1
−
z
−
1
)
dsm
_
order
=
dsm
_
order
X
i
=1
CHC
i
[
n
](1
−
z
−
1
)
i
−
1
,
(13)
где, например,
CНС
4
[
n
](1
−
z
−
1
)
3
=
CНС
4
[
n
]
−
3
CНС
4
[
n
−
1]+3
CНС
4
[
n
−
2]
−
CНС
4
[
n
−
3]
.
Таким образом уравнения (5), (7), (8) и (13) представляют собой
систему нелинейных (кроме (13)) разностных уравнений для вычи-
сления помех дробности в виде отклонения фазы
Δ
ϕ
n
сигнала УГ от
стационарного положения. Однако в виду того, что емкость НС
m
в
современных интегральных микросхемах СЧ достигает значений
2
22
и более, а период последовательности
Δ
N
n
составляет
l
×
m
, где
l
, на-
пример, для
dsm
_
order
= 3
может достигать значения 6, решение (7)
итерационными процедурами весьма трудоемко. Выражение (7) мож-
но упростить, считая
τ
n
, τ
n
+1
T
0
, элементы вектора
X
С
(
t
n
)
малыми,
λ
1
→
0
(система ФАПЧ проектируется астатической по разности опор-
ного сигнала и сигнала с ДДПКД),
ω
Н
= 2
πN
m
/T
0
, число собственных
значений
λ
1
, λ
2
, . . . , λ
l
матрицы
Al
>
3
. Разложим экспоненциальные
члены (7) в ряд Тейлора и пренебрежем членами третьего и высше-
го порядков малости. Опустив промежуточные выкладки, приведем
ISSN 0236-3933. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Приборостроение”. 2011. № 2 115
